(2009•本溪)如图所示,山坡上有一棵与水平面垂直的大树,一场台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面.已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干倾斜角∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m.
(1)求∠CAE的度数;
(2)求这棵大树折断前的高度.(结果精确到个位,参考数据:
2
=1.4,
3
=1.7,
6
=2.4).
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专题:应用题
分析:本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题,
(1)如果延长BA交EF于点G,那么BG⊥EF,∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG,∠BAC的度数以及确定,只要求出∠GAE即可.直角三角形GAE中∠E的度数已知,那么∠EAG的度数就能求出来了,∠CAE便可求出.
(2)求树折断前的高度,就是求AC和CD的长,如果过点A作AH⊥CD,垂足为H.有∠CDA=60°,通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值.
解答:菁优网解:(1)延长BA交EF于点G.
在Rt△AGE中,∠E=23°,
∴∠GAE=67°.
又∵∠BAC=38°,
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°.

(2)过点A作AH⊥CD,垂足为H.
在△ADH中,∠ADC=60°,AD=4,cos∠ADC=
DH
AD
,∴DH=2.
sin∠ADC=
AH
AD
,∴AH=2
3

在Rt△ACH中,
∵∠C=180°-75°-60°=45°,CH=AH=2
3

∴AC=2
6
,CH=AH=2
3

∴AB=AC+CD=2
6
+2
3
+2≈10(米).
答:这棵大树折断前高约10米.
点评:本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中,使问题解决.
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