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菁优网已知圆N:(x+2)2+y2=8,和抛物线C:y2=2x,圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A,B.
(1)当切线l斜率为1时,求线段AB的长;
(2)设点M(0,-2),且
MA
MB
,求切线l的斜率.
【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】题意可得tan∠PB=
-y
x-2
,tanPA=
y
x+1
再根tn∠PBA=tan2PAB=
2tan∠AB
1tan2∠AB
,简可得点P的轨迹方.
设PF率为,PR率为k2,得P和PR方程,可得|M|=(k1-k2)x|,根据直线和圆切的性质,k、k2
|y0-k(x0+1|
k2+1
1的两实数解,即(x02+2xk2y0(x0+1)k+y02-1=,利用达定理可得k+2和k1•k2,可得|M2=
4[y02+x02+2x0]
(x0+2)2
=
4[4x02+2x0-3]
(x0+2)2
,再利用导数判断单性由单调性求出|MN的范围.
【解答】菁优网解:由题意tan∠PBA=-KP=
-y
x-2
,tanPAB=KP=
y
x+1

故:(x022x0)k2-y0x0+1k+y02-1=用韦达定理可得1+k2=
2y0(x0+1)
x02+2x0
k1•k2=
y02-1
x02+2x0
                        
又∵x02-
y02
3
1,∴|MN2=
4[4x02+2x0-3]
(x0+2)2

由P圆相切得:
|-k1+y0-k1x0|
k12+1
=1PR和圆切得:
|-k2+y0-k2x0|
k22+1
=1,
设PF斜率k,PR率为k2,
令x=,可得yMy-k1x,yNy0-k2x0∴|MN|=(1-2)0|,
再据∠PBA=2AB,可tanPBA=an2∠PAB=
2an∠PAB
1-an2∠PB

PF:yy0=k1(xx),P:y-y0=k2(x0),
-y
x-2
=
2y
x+1
1-(
y
x+1
)
2
,化得3x2-y=3,即 x2-
y2
3
=1(x>).
当x0趋于1,x0)趋于
4
3
;当0趋+∞时,(x0)趋于6,故|N|2∈(
4
3
,16,
故|N的范围为(
2
3
3
,).
【点评】本题主要考线的斜率公式,求动点的轨迹方,直线和圆锥的位关系用导数研究函数的单调性,难.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:双曲线老师 2017/12/12
更新:2017/12/12组卷:13真题:1难度:0.10

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