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已知函数f(x)=|x+m|-|3x+1|,m∈R.
(Ⅰ)当m=-2时,求不等式f(x)<2的解集;
(Ⅱ)若对∀x∈[-
1
3
,2],f(x)≥2x成立,求m的取值范围.
【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】求1)及f的值直接代入计算即可;
先证明:一正整数nf(n)是整.步,中二步是关键,利用二式理,结合假设证再证明n=0时,成立;当为负整数时,n=-m,则m是数,由为正整时,成立即可.
【解答】解:f-1)=-
1
5
+
1
2
-
1
3
+
1
30
=0

所以f)=f(-m)=
1
5
(-m)5+
1
2
(-m)4+
1
3
(-m)3-
1
30
(m)
=-
1
5
m5+
1
2
m4-
1
3
m3+
1
30
m
=-f()+m4是数.
先用数学归纳法证明:一切整n,(n)是整.
由、可知对对一切正n,f()是整数…(分)
当n为负整数时n=-m,是正数,f(m)是整数,
据设(k)是整,而k4+4k3+6k2+4k1是整数.
=f(k)k4+k3+6k+4+1
f2)=
1
5
×25+
1
2
×24+
1
3
×23-
1
30
2 =17

设当nkk≥1,k∈)时,结论成立,即fk)=
1
5
k5+
1
2
k4+
1
3
k3-
1
30
k
是整数,则当n=k1,f(k+1=
1
5
k+1)5+
1
2
(k1)4+
1
3
(+1)3-
1
30
(+1)
=
C
0
5
k5+
C
1
5
k4+
C
2
5
k3+
C
3
5
k2+
C
4
5
k+
C
5
5
5
+
C
0
4
k4+
C
1
4
k3+
C
2
4
k2+
C
1
4
k+
C
4
4
2
+
C
0
3
k3+
C
1
3
k2+
C
2
3
k+
C
3
3
3
-
1
30
(k1)

综上,对切数n,n一定是整数.…(10分)
【点评】本题的考点数学纳法,考查数纳法的题,键是二步,必须利归纳假,同时,本题的证明还应注意分类讨论.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:双曲线老师 2017/12/12
组卷:1真题:0难度:0.90

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