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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与B1D1所成的角是(  )
【专题】计算题;数形结合;定义法;空间角.
分以AOM、OD为xy、z轴建立空间直角标系,则求值即为面CM的向量平面AC的法向量的夹角的弦值绝对值;
DE
DB
,(0≤λ1,利用量的加法则及段垂直向量表示可得
ME
,利用向量量运计算即可.
设面CDM的法量为
m
x,y,z),
∴AC⊥BCD⊥DC,
又面ACD的向量为
n
(0,1,0,
ME
=
MD
+
DE
(0,-
2
2
)+
1
6
(-
2
,2
2
,-
2
)=
1
6
(-
2
,-4
2
,5
2
),
m
CM
=0
m
CD
=0
,可得
2
x+
2
y=0
2
x+
2
z=0

解:别以A、M、O为x、y、z轴建立空间直标系如图,
D(0,,
2
),
CM
=(
2
2
0),
CD
=(
2
,0,
2
),
【解答】证明:AB=,AC=2
2
AD=2,
co<
m
n
=
m
n
|
m
||
n
|
=
3
3

令x=,得
m
=(1,1-1),
由OE⊥D,得
OE
BD
=0
即2+8λ-(1λ)=0,解得λ=
1
6

设线ME与平CDM所成的角θ,
OE
=
OD
+
DE
=0,0,
2
)+λ-
2
,2
2
,-
2
)(-
2
λ,2
2
λ,(-λ)
2
),
DE
=
1
6
(-
2
,2
2
,-
2
),
则A(
2
,0,0,(-
2
,2
2
,0,M(0,
2
,0)C(-
2
,0,),
∴二面A-CM的余弦角为
3
3

BC⊥平ACD;
∴snθ=cos<
ME
n
>|
=|
ME
n
|
ME
||
n
|
|
=
2
3
3
21
3
=
14
21
【点评】本题考查线面垂直的定定,二角及面角,注意解题方的积累于中档题.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:zlzhan老师 2017/12/12
收录:2017/12/12组卷:16真题:1难度:0.90

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