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菁优网(2017秋•友谊县校级月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)的部分图象如图所示,
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若方程f(x)=m在区间(
π
12
11π
12
)
上有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
【专题】转化思想;转化法;三角函数的图像与性质.
|m|+|n|<1出-
m
2
(-,1).利用△>0,说明一二次方程t2+mt+=0在区间(1,)内有个等实.
【分析】(I利用辅助公式函数的达式为sin(x+ϕ),利用f(x-π)f(x+π求出数的周期,通过周期公式出ω,通过(x)=(
π
3
-x),令x0,得到f0)=(
π
3
)求出,即可求f(x)的解析;
结合数y=siu(∈(-
π
2
π
2
))u=x+
π
3
(x∈-
6
π
6
))都增函数,推出所证分条件.
通m=
5
6
,n=
1
6
,说明“|m+n|<1不是“方[f(x]2mf()+n=0在区(-
6
π
6
有个不等实根”的必要条件.
【解答】解:(I)(x)=
1
2
(inωx+aosx)=
2+1
2
(ωx+ϕ),其中sinϕ=
a
a21
,coϕ=
1
a21

同由|-n|≤||+|n<1m-n<1.
又∵m|≤|m+|n<1,∴-
m
2
∈(-11).
由f(x-πf(x+π知(x)(x+2π),函f(x)的周期为2π.
但|||n|=
5
6
+
1
6
=1,
又m-n>0,一元二次方程t2+mt+n=0在区间(-1)内有两个不等的根.
|ω|
≤π即|ω|≥1.又0<ω≤1,∴=.
令=x+
π
3
,f(x)=,g(t=t2+mt+n,则f(x=i,
故m||n|<”不是“方程[f(x)]+mf(x)n0在区间-
6
π
6
)内有两个不等根的必条件.
令m=
5
6
,n=
1
6
,由于程t2+
5
6
t+
1
6
=0有个不等的实-
1
3
,-
1
2
,且-
1
3
,-
1
2
∈(-1,1,
1
2
(sin0+as0)=
1
2
sin
π
3
+cos
π
3
),得 a=
3
,∴f(x)=si(+
π
3
).
“||+|n<1是“程[f(x]2+mfx)+n=0在区间(-
6
π
6
内个不等实根”的充分条件.
方程sin2x+
π
3
)+
5
6
sin(+
π
3
)+
1
6
0在(-
6
π
6
)内两个等的实根,
II)然,x∈(-
6
π
6
等价于x+
π
3
∈(-
π
2
π
2
).
综上,“m|+|n<1”是“方程[f()]2m(x)+0在区(-
6
π
6
)内有两个等根的充分不必要条.
【点评】本题考查三角数的化简解析式的求法,以及分条件必条件明,程的根的知识,考转化思想,计能力反例问题的应用.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:左杰老师 2017/12/12
更新:2017/12/12组卷:9真题:1难度:0.30

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