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已知椭圆C1与双曲线C2有公共点F1、F2,点P是曲线C1与C2的一个交点,并且PF1⊥PF2,e1和e2分别是C1与C2的离心率,则4e
 
2
1
+e
 
2
2
的最小值为(  )
【考点】双曲线的性质
【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由意可得f()为奇函函数求导可,x>0时,f′x)=
1-3x2)(12x2+x4)(4+4x3)
(x2+1)4
=
x4-6x2+1
(x2+1)3
结合奇函数质,只要先虑>0,结合导数可判断函数f(x)(,
2
1],(
2
+1
,+)上单调递,在(
2
-1
2
+1
)上单调减,
fx)max=(
2
-1
)=
1
4
,(x)mi=-f(x)m=-
1
4
根据奇数的对性可得f(x)mi=-f()max,代求
【解答】解:∵fx)=
x-x3
x4+2x2+1

f′(x)<0可x4-62<0,即
2
-1
<x<
2
+
1
∴f-x)=
x3-x
1+2x2+x4
=-(x)
最大值与最值的积为
1
4
×(-
1
4
)=-
1
16

∴fx为奇函数
∴f(x)m=f(
2
-1
)=
1
4
,(x)min=-fx)x=-
1
4

当x>0,f(x)=
1-3x2)(12x2+x4)(x+4x3)
(x2+1)4
=
x4-6x2+1
(x2+1)3

又∵
lim
x→∞
x-x3
x4+2x2+1
=
lim
x→∞
1
x3
-
1
x
1+
2
x2
+
1
x4
=0,f(=0
答案为:-
1
16
【点评】本题要考查了利用函的数求函数的最值,其奇函的对称性的利用及数最值的位置判断解答本题关键
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:铭灏2016老师 2017/12/12
更新:2017/12/12组卷:7真题:1难度:0.70

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