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在线问答 》 高中数学
提问者:178****8559 | 优点奖励:7 | 关注次数:1次   4天前
满意回答
回答者:菁优客服 来自: 菁优教育 3天前
菁优解析
专题:证明题;创新题型;方程思想;综合法;点列、递归数列与数学归纳法.
分析:(1)通过题意易得0<an
1
2
(n∈N*),利用an-an+1=an2可得
an
an+1
>1,利用
an
an+1
=
an
an-an2
=
1
1-an
≤2,即得结论;
(2)通过an2=an-an+1累加得Sn=a1-an+1,对an+1=an-an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围,从而得出结论.
解答:证明:(1)由题意可知:an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an
故an
1
2
,1≤
an
an+1

由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.
所以0<an
1
2
(n∈N*),
又∵a2=a1-a12=
1
2
-
1
4
=
1
4
,∴
a1
a2
=
1
2
1
4
=2,
又∵an-an+1=an2,∴an>an+1,∴
an
an+1
>1,
an
an+1
=
an
an-an2
=
1
1-an
≤2,
∴1≤
an
an+1
≤2(n∈N*),
综上所述,1<
an
an+1
≤2(n∈N*);
(2)由已知,an2=an-an+1an-12=an-1-an,…,a12=a1-a2
累加,得Sn=an2+an-12+…+a12=a1-an+1,①
由an+1=an-an2两边同除以an+1an得,
1
an+1
-
1
an
=
an
an+1
和1≤
an
an+1
≤2,
得1≤
1
an+1
-
1
an
≤2,
累加得1+1+…1≤
1
an+1
-
1
an
+
1
an
-
1
an-1
+…+
1
a2
-
1
a1
≤2+2+…+2,
所以n≤
1
an+1
-
1
a1
≤2n,
因此
1
2(n+1)
≤an+1
1
n+2
(n∈N*) ②,
由①②得
1
2(n+2)
Sn
n
1
2(n+1)
(n∈N*).
点评:本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.
答题:cst老师 2015/6/9
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