解答:解:(1)将A(-3,0),C(0,5)代入y=ax
2+
x+c,得:
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为y=-
x
2+
x+5.
(2)过点M作ME⊥x轴于E,交BC于点F,如图1所示.
当y=0时,有-
x
2+
x+5=0,
解得:x
1=-3,x
2=5,
∴点B的坐标为(5,0).
又∵点C的坐标为(0,5),
∴直线BC的解析式为y=-x+5(待定系数法可求出).
设点M的坐标为(x,-
x
2+
x+5),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,-x+5),
∴MF=-
x
2+
x,
∴S
△FMC+S
△FMB=S
△BCM=
OB•MF
又∵S
△BCM:S
△AOC=1:3,
∴OC•OA=3OB•MF,即-x
2+5x=3,
解得:x
1=
,x
2=
,
∴当S
△BCM:S
△AOC=1:3时,点M的横坐标为
或
.
(3)在线段OC上取ON=OA,过点N作NQ⊥BC于点Q,如图2所示.
在△AOC和△NOB中,
,
∴△AOC≌△NOB(SAS),
∴∠ACO=∠NBO,ON=OA=3.
∵∠OPA+∠OCA=∠CBA,
∴∠OPA=∠NBC.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴△BOC为等腰直角三角形,∠BCO=45°,
又∵NQ⊥BC,
∴△CNQ为等腰直角三角形.
∵OC=5,CN=OC-ON=2,
∴BC=
OC=5
,CQ=NQ=
CN=
,
∴BQ=4
.
∵∠OPA=∠NBC,
∴tan∠OPA=tan∠NBC,
∴
=
,即
=
,
∴OP=12,
∴CP=OP-OC=7或CP=OP+OC=17,
∴当∠OPA+∠OCA=∠CBA时,CP的长为7或17.