分析：（1）当k=

1

2

，b=3时，y=

1

2

x+3，联立y=x²-2x-3和y=

1

2

x+3得：x²-2x-3=

1

2

x+3，解得x=4或-

3

2

，当x=1时，y=y=

1

2

x+3=

7

2

，即可求解；
（2）求出点D′的坐标为（

-13-4b

5

，

8b+18

5

），则点D′在直线y=-2x-

8

5

上，进而求解；
（3）

1

PM

+

1

PN

=

1

k2+1

×

k2+16+4(k+b)

4+(k+b)

为定值，则当4（k+b）=-15时，上式为4为定值，即可求解．

解答：解：（1）当k=

1

2

，b=3时，y=

1

2

x+3，
联立y=x²-2x-3和y=

1

2

x+3得：x²-2x-3=

1

2

x+3，解得x=4或-

3

2

，
当x=1时，y=y=

1

2

x+3=

7

2

，
故点M、N、P的坐标分别为（-

3

2

，

9

4

）、（4，5）、（1，

7

2

）；

（2）当k=

1

2

时，直线l的表达式为y=

1

2

x+b①，
作点D关于直线l的对称点D′，延长DD′交y轴于点E，交直线l于点H，则点H是DD′的中点，

由直线l的表达式中k=

1

2

知，tan∠OCH=2，
故设直线DE的表达式为y=-2x+t，将点D的坐标代入上式并解得t=-2，
故直线DE的表达式为y=-2x-2②，
联立①②并解得：

x=- 4+2b 5 y= 4b-2 5

，即点H（-

4+2b

5

，

4b-2

5

），
∵点H是DD′的中点，

联立①②并解得：

x=- 4+2b 5 y= 4b-2 5

，即点H（-

4+2b

5

，

4b-2

5

），
∵点H是DD′的中点，
由中点公式得，点D′的坐标为（

-13-4b

5

，

16+8b

5

），
设x=

-13-4b

5

，y=

16+8b

5

，整理得：y=-2x-2，
即点D′在直线y=-2x-2③上，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y=-3x-3④，
同理可得：直线BC的表达式为y=x-3⑤，
则当点D′落在△ABC内部（含△ABC的边）时，直线y=-2x-2和直线AC、直线BC相交，
联立③④并解得x=-1，
当x=-1时，即x=

-13-4b

5

=-1，解得b=-2；
联立③⑤并解得x=0，
即x=

-13-4b

5

=0，解得b=-

13

4

，
此外点D′在落在AB下方，y=

16+8b

5

＜0，解得b＜-2；
故b的取值范围为-

13

4

≤b＜-2；

（3）设点M、N的横坐标为m、n，
联立抛物线和直线l的表达式并整理得：x²-2x-kx-3-b=0，
则m+n=2+k，mn=-3-b，
则|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

k2+16+4(k+b)

，
过点M作MH∥x轴交x=1于点G，交过点N于y轴的平行线于点N，

∵直线l的表达式为y=kx+b，则tan∠NMH=k，设∠NMH=α，则cosα=

1

k2+1

，
在Rt△PMG中，cos∠NMH=

MG

PM

=

1-m

PM

=cosα，
则

1

PM

=

1

k2+1

×

1

1-m

，
同理可得：

1

PN

=

1

k2+1

×

1

n-1

，
则

1

PM

+

1

PN

=

1

k2+1

（

1

1-m

+

1

n-1

）=

1

k2+1

×

n-m

n-1-mn+1

=

1

k2+1

×

k2+16+4(k+b)

4+(k+b)

为定值，
则当4（k+b）=-15时，上式为4为定值，
故k+b=-

15

4

．

点评：本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．