解答:解:由题意f(x+2)=-f(x),即有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
则f(x)为周期为4的函数,且是奇函数,0在函数定义域内,故f(0)=0,得a=1,
所以当0≤x≤1时,f(x)=log
2(x+1),
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],此时f(x)=-f(-x)=-log
2(-x+1),
又知道f(x+2)=-f(x)=f(-x),所以f(x)以x=1为对称轴,
且当x∈[-1,1]时f(x)单调递增,当x∈[1,3]时f(x)单调递减,
当x∈[-1,3]时,令f(x)=1-log
23,得x=-
,或
x=,
所以在[-1,3]内当f(x)>1-log
23时,
x∈[-,].设
g(x)=-x2+tx+,
若对于x∈[0,1]都有
f(-x2+tx+)≥1-log23,
因为
g(0)=∈[-,].故
g(x)∈[-,].
①当
<0时,g(x)在[0,1]上单调递减,故
g(x)∈[t-,]⊆[-,]得t≥0,无解;
②0≤t≤1时,
0≤≤,此时g(t)最大,g(1)最小,即
g(x)∈[t-1,+]⊆[-,]得t∈[0,1];
③当1<t≤2时,即
<≤2,此时g(0)最小,g(t)最大,即
g(x)∈[t-1,+]⊆[-,].得t∈(1,2];
④当t>2时,g(x)在[0,1]上单调递增,故
g(x)∈[,t-]⊆[-,].解得,t∈(2,3].
综上t∈[0,3].
故选:B.