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在线问答 》 高中数学
提问者: | 优点奖励:7 | 关注次数:0次   2019/05/21 20:25
满意回答
回答者: 2019/05/22 00:38
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菁优解析
专题:转化思想;综合法;函数的性质及应用;数学运算.
分析:推得f(x)为周期为4的函数,且是奇函数.0在函数定义域内,故f(0)=0,得a=1,先得到[-1,3]一个周期内f(x)的图象,求出该周期内使f(x)≥1-log23成立的x的范围,从而推出-x2+tx+
1
2
的范围,再分t的范围讨论即可.
解答:解:由题意f(x+2)=-f(x),即有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
则f(x)为周期为4的函数,且是奇函数,0在函数定义域内,故f(0)=0,得a=1,
所以当0≤x≤1时,f(x)=log2(x+1),
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],此时f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1),
又知道f(x+2)=-f(x)=f(-x),所以f(x)以x=1为对称轴,
且当x∈[-1,1]时f(x)单调递增,当x∈[1,3]时f(x)单调递减,
当x∈[-1,3]时,令f(x)=1-log23,得x=-
1
3
,或x=
5
2

所以在[-1,3]内当f(x)>1-log23时,x∈[-
1
2
5
2
]
.设g(x)=-x2+tx+
1
2

若对于x∈[0,1]都有f(-x2+tx+
1
2
)≥1-log23

因为g(0)=
1
2
∈[-
1
2
5
2
]
.故g(x)∈[-
1
2
5
2
]

①当
t
2
<0
时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)∈[t-
1
2
1
2
]⊆[-
1
2
5
2
]
得t≥0,无解;
②0≤t≤1时,0≤
t
2
1
2
,此时g(t)最大,g(1)最小,即g(x)∈[t-1,
t2
4
+
1
2
]⊆[-
1
2
5
2
]
得t∈[0,1];
③当1<t≤2时,即
1
2
t
2
≤2
,此时g(0)最小,g(t)最大,即g(x)∈[t-1,
t2
4
+
1
2
]⊆[-
1
2
5
2
]
.得t∈(1,2];
④当t>2时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)∈[
1
2
,t-
1
2
]⊆[-
1
2
5
2
]
.解得,t∈(2,3].
综上t∈[0,3].
故选:B.
点评:本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识,属于难题.
答题:双曲线老师 2020/4/7
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