2025年北京九中高考数学保温试卷

一、单选题

• 1．在等差数列{a_n}中，已知a₄+a₈=16，则该数列前11项和S_n=（　　）

  A．58

  B．88

  C．143

  D．176
  组卷：16引用：1难度：0.7

  解析

• 2．如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E、F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C、B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B、C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E、F为焦点的椭圆．
  
  如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A₁A₂是椭圆的长轴，PA₁垂直于桌面且与球相切，PA₁=5，则椭圆的焦距为（　　）

  A．4

  B．6

  C．8

  D．12
  组卷：168引用：2难度：0.6

  解析

• 3．已知集合A={-3，1，2}，B={0，1，2，3}，则A∪B=（　　）

  A．{1，2}

  B．{-3，0，1，2}

  C．{-3，1，2，3}

  D．{-3，0，1，2，3}
  组卷：3引用：3难度：0.7

  解析

• 4．（1+3x）（1-x）⁵的展开式中x³的系数为（　　）

  A．0

  B．20

  C．10

  D．30
  组卷：464引用：4难度：0.8

  解析

• 5．若点P（-3，1）为圆x²+y²=16的弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（　　）

  A．x+3y-10=0

  B．3x+y+8=0

  C．x-3y+10=0

  D．3x-y+10=0
  组卷：1039引用：3难度：0.9

  解析

• 6．已知α，β是三次函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  3

  x

  3

  +

  1

  2

  a

  x

  2

  +

  2

  bx

  的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则

  b

  -

  2

  a

  -

  1

  的取值范围是（　　）

  A． （ 1 4 ， 1 ）

  B． （ 1 2 ， 1 ）

  C． （ - 1 2 ， 1 4 ）

  D． （ - 1 2 ， 1 2 ）
  组卷：1458引用：26难度：0.7

  解析

• 7．抛物线y²=-68x的准线方程为（　　）

  A．x=-17

  B．x=34

  C．x=17

  D．x=-34
  组卷：171引用：7难度：0.8

  解析

• 8．已知复数

  z

  =

  2

  -

  3

  i

  i

  ，则复数z的虚部是（　　）

  A．-2

  B．-2i

  C．2

  D．3
  组卷：52引用：2难度：0.8

  解析

• 9．如图是由三个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：18引用：1难度：0.9

  解析

• 10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=4，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 2 2

  D． 2 3
  组卷：58引用：4难度：0.5

  解析

二、填空题

• 11．已知二元函数

  f

  （

  x

  ,

  y

  ）

  =

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  x

  2

  +

  （

  y

  -

  a

  ）

  2

  +

  （

  x

  +

  a

  ）

  2

  +

  y

  2

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的最小值为

  2

  +

  6

  ，则正实数a的值为

  ．
  组卷：70引用：1难度：0.3

  解析

• 12．双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，则双曲线C的离心率为

  ．
  组卷：54引用：3难度：0.6

  解析

• 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积等于

  3

  12

  （

  a

  2

  +

  b

  2

  -

  c

  2

  ）

  ，且c=1，则

  a

  +

  b

  sin

  A

  +

  sin

  B

  =

  ．
  组卷：30引用：2难度：0.5

  解析

• 14．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k|x|+2，曲线C₂的方程为（x+1）²+y²=4，若C₁与C₂有且仅有三个公共点，则实数k的值为

  ．
  组卷：151引用：3难度：0.5

  解析

• 15．已知平面向量

  a

  ，

  b

  的夹角为60°，

  a

  =（

  3

  ，1），|

  b

  |=1，则|

  a

  +2

  b

  |=

  ．
  组卷：143引用：10难度：0.7

  解析

三、解答题

• 16．若数列A：a₁，a₂，…，a_n满足：对任意1≤i＜j≤n,均有a_i+i≤a_j+j成立，则称数列A为“D-数列”．
  （Ⅰ）直接判断下面三个数列是否是“D-数列”；
  ①A：1，2，3，4；     ②A：1，3，2，4；     ③A：4，3，2，1；
  （Ⅱ）若“D数列”A：a₁，a₂，…，a₂₀₁₈满足a₁=2018，证明：数列A是等差数列的充分不必要条件是a₂₀₁₈=1；
  （Ⅲ）求q的取值范围，使得存在非零实数a,对任意正整数n,数列A：a,aq,aq²，…，aq^n-1恒为“D-数列”．
  组卷：96引用：2难度：0.9

  解析

• 17．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  （

  a

  +

  1

  ）

  x

  +

  1

  2

  a

  x

  2

  （

  a

  ∈

  R

  ）

  ，
  （1）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （2）当a∈（0，1]时，求函数y=f（x）的单调区间；
  （3）当a=0时，方程f（x）=（m-2）x在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
  组卷：93引用：2难度：0.5

  解析

• 18．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点A（0，1），且离心率为

  6

  3

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作AH⊥MN于H．
  问：是否存在定点P，使得|PH|为定值．若存在，求出定点P的坐标及|PH|的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：257引用：6难度：0.5

  解析

• 19．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏着”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
  （Ⅰ）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
  （Ⅱ）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：
  

  	短潜伏者	长潜伏者	合计
  60岁及以上			160
  60岁以下	60
  合计			300

  （Ⅲ）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效（对某种药物，仅需实验一次即可知道其是否特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是600元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望E（X）．
  附表及公式：
  

  P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
  k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

  K²=

  n

  （

  ad

  -

  bc

  ）

  2

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  c

  +

  d

  ）

  （

  a

  +

  c

  ）

  （

  b

  +

  d

  ）

  ，n=a+b+c+d.
  组卷：39引用：1难度：0.4

  解析

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  - x 3 + x 2 ， x ＜ 1

  alnx , x ≥ 1 .

  
  （Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
  （Ⅱ）对任意给定的正实数a,曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？
  组卷：21引用：5难度：0.3

  解析

• 21．已知向量

  a

  =（

  3

  ，sin²x），

  b

  =（sinxcosx,1），函数f（x）=

  a

  •

  b

  -

  1

  2

  ．
  （1）求函数f（x）的单调递减区间；
  （2）若x∈[

  π

  6

  ，

  5

  π

  12

  ]，求函数f（x）的值域．
  组卷：24引用：3难度：0.7

  解析