2025年上海市静安区风华中学高考数学三模试卷

一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分）

• 1．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）是偶函数，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若

  f

  （

  1

  ）

  =

  1

  2

  ，则f（2024）=

  ．
  组卷：220引用：2难度：0.5

  解析

• 2．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  ，则双曲线C的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为

  ．
  组卷：37引用：4难度：0.7

  解析

• 3．已知

  AB

  =

  （

  1

  ，

  5

  ，-

  2

  ）

  ，

  BC

  =

  （

  3

  ，

  1

  ，

  z

  ）

  ，若

  AB

  ⊥

  BC

  ，

  BP

  =

  （

  x

  -

  1

  ，

  y

  ,-

  3

  ）

  ，且BP⊥平面ABC，则x+y+z=

  ．
  组卷：232引用：3难度：0.6

  解析

• 4．已知i是虚数单位，则复数z=（1+i）（2-i）的虚部是

  ．
  组卷：53引用：1难度：0.8

  解析

• 5．在某项测量中，测得变量ξ～N（1，σ²）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为

  ．
  组卷：96引用：1难度：0.7

  解析

• 6．△ABC​的外心为O​，三个内角A，B，C​所对的边分别为

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ,

  AO

  •

  BC

  =

  1

  2

  a

  （

  a

  -

  8

  5

  c

  ）

  ​，b=4​．则△ABC​面积的最大值为

  ．
  组卷：403引用：6难度：0.4

  解析

• 7．在（2+x）⁵的二项展开式中，x⁴项的系数为

  （结果用数值表示）．
  组卷：130引用：2难度：0.7

  解析

• 8．

  （

  x

  +

  2

  x

  ）

  6

  的展开式中常数项是

  （用数字作答）．
  组卷：347引用：13难度：0.7

  解析

• 9．在三角形ABC中，已知A=120°，B=45°，AC=2，则三角形面积S=

  ．
  组卷：101引用：3难度：0.7

  解析

• 10．已知全集U=R，A={x|（x-1）（x+2）（x-3）≤0}，则

  A

  =

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.8

  解析

• 11．设事件A，B，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，P（B|A）=1，则P（A|B）=

  ．
  组卷：64引用：3难度：0.8

  解析

• 12．已知

  tan

  α

  3

  =

  2

  ，则

  tan

  2

  α

  3

  =

  ．
  组卷：51引用：3难度：0.7

  解析

二、选择题：（本大题共有4题，13，14题每小题选对得4分，15，16题每小题选对得5分，

• 13．从高一某班抽三名学生参加数学竞赛，假设男生女生的人数一样多，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（　　）

  A．P（A）= 1 8	B．P（C）≠P（D）
  C．事件A与事件B互斥	D．事件A与事件C对立
  组卷：234引用：4难度：0.7

  解析

• 14．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与a的位置关系是（　　）

  A．l∥a	B．l与a异面
  C．l与a相交	D．l与a平行或异面
  组卷：202引用：31难度：0.9

  解析

• 15．已知a₁=1919，a_k=1949，a_l=2019是等差数列{a_n}中的三项，同时b₁=1919，b_k=1949，b_l=2019是公比为q的等比数列{b_n}中的三项，则q的最大值为（　　）

  A． 2019 1949	B． （ 2019 1949 ） 1 7
  C． （ 2019 1949 ） 10 7	D．无法确定
  组卷：19引用：1难度：0.5

  解析

• 16．已知实数a,b,则“

  a

  +

  b

  a

  -

  b

  ＞0”是“|a|＞|b|”的（　　）条件

  A．充分不必要	B．必要不充分
  C．充要	D．既不充分也不必要
  组卷：84引用：3难度：0.7

  解析

三.解答题：（本大题共5题，满分78分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤）

• 17．W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布N（80，0.25），从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：

  产品尺寸/mm	[76，78.5]	（78.5，79]	（79，79.5]	（79.5，80.5]	（80.5，81]	（81，81.5]	（81.5，83]
  件数	8	54	54	160	72	40	12

  根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在（μ-3σ，μ+3σ]以外视为小概率事件．一且小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在（μ-3σ，μ+3σ]以内为正品，以外为次品．P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
  （1）判断生产线是否正常工作，并说明理由；
  （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差．
  组卷：59引用：3难度：0.6

  解析

• 18．已知椭圆的焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0），M是椭圆上一点，且

  |

  M

  F

  1

  |

  +

  |

  M

  F

  2

  |

  =

  2

  5

  ．
  （1）求此椭圆的标准方程；
  （2）若直线y=x+m交椭圆于A，B两点，且AB的中点为P（-1，n），求n的值．
  组卷：2引用：0难度：0.5

  解析

• 19．已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
  （1）求函数f（x）在区间[

  1

  2

  ，

  2

  ]上的最大值；
  （2）证明：

  （

  1

  +

  1

  n

  2

  ）

  （

  1

  +

  2

  n

  2

  ）

  …

  （

  1

  +

  n

  n

  2

  ）

  ＜

  e

  ．
  组卷：196引用：1难度：0.4

  解析

• 20．阅读：对于两个不等的非零实数a、b,若分式

  （

  x

  -

  a

  ）

  （

  x

  -

  b

  ）

  x

  的值为零，则x=a或x=b,又因为

  （

  x

  -

  a

  ）

  （

  x

  -

  b

  ）

  x

  =

  x

  2

  -

  （

  a

  +

  b

  ）

  x

  +

  ab

  x

  =

  x

  +

  ab

  x

  -

  （

  a

  +

  b

  ）

  ，关于x的方程x+

  ab

  x

  =a+b有两个解，分别为x₁=a,x₂=b,应用以上结论解答下列问题：
  （1）方程x+

  p

  x

  =q的两个解分别为x₁=-2，x₂=4，求p、q的值；
  （2）x+

  3

  x

  =4的两解为x₁=a,x₂=b,求a⁴+b⁴的值；
  （3）关于x的方程2x+

  n

  2

  +

  n

  -

  2

  2

  x

  +

  1

  =2n有两个解x₁、x₂（x₁＜x₂），求

  2

  x

  1

  2

  x

  2

  -

  3

  的值．
  组卷：31引用：1难度：0.5

  解析

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  -

  x

  x

  e

  x

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  ．
  （1）求函数y=f（x）的单调区间；
  （2）在区间

  [

  a

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．
  组卷：136引用：3难度：0.4

  解析