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2022-2023学年上海市青浦区东方中学九年级（上）期中数学试卷

发布：2025/8/6 5:0:8

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸的相应题号的选项上用2B铅笔填涂]

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，
AD
DB
=
2
3
，AC=10，则AE的长为（　　）
A．
10
3
B．4 C．6 D．
20
3
组卷：395引用：1难度：0.8

2．对于题目：“在长为6宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（　　）

A．甲方案正确，周长和的最大值错误

B．乙方案错误，周长和的最大值正确

C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确

D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

组卷：424引用：3难度：0.5

3．已知函数y=ax²+bx+c,当y＞0时，
-
1
2
＜
x
＜
1
3
．则函数y=cx²-bx+a的图象可能是下图中的（　　）
A． B． C． D．
组卷：5188引用：15难度：0.5
4．抛物线y=3x²，y=-3x²，
y
=
1
3
x
2
的共同性质是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
组卷：121引用：3难度：0.5
5．如图，在△ABC中，点D是在边BC上一点，且BD=2CD，
AB
=
b
，
BC
=
a
，那么
AD
等于（　　）
A．
AD
=
a
+
b
B．
AD
=
2
3
a
+
2
3
b
C．
AD
=
a
-
2
3
b
D．
AD
=
b
+
2
3
a
组卷：160引用：1难度：0.6
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（　　）
A．
sin
A
=
3
2
B．
cos
A
=
3
2
C．
tan
A
=
1
2
D．
cot
A
=
3
3
组卷：683引用：3难度：0.9

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]

7．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是

．
组卷：1100引用：19难度：0.7
8．若3：x=2：6，则x=

．
组卷：279引用：4难度：0.5
9．已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE：OF=4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，则△OEH面积的最大值为
．

组卷：445引用：2难度：0.4
10．周长为20的等腰三角形中，底边长为x,则一条腰长为
，x的取值范围是
．
组卷：37引用：3难度：0.5
11．过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O，AC=a,BD=b（b＞a），那么点O到线段AB的距离为

．
组卷：65引用：1难度：0.7
12．线段2cm、8cm的比例中项为
cm.
组卷：511引用：34难度：0.9
13．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S_△DEF=a,那么S_△BCF=

．
组卷：1833引用：54难度：0.5
14．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=

时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
组卷：868引用：14难度：0.7
15．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=4，BD=2，则BC=
．
组卷：286引用：6难度：0.7
16．已知，点A（-4，y₁），B（
1
2
，y₂）在二次函数y=-x²+2x+c的图象上，则y₁与y₂的大小关系为
．
组卷：1272引用：12难度：0.6
17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sinB的值等于
．
组卷：260引用：40难度：0.7
18．如果一个斜坡的坡角为30°，那么该斜坡的坡度i为
．
组卷：30引用：1难度：0.6

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．关于x的函数y=（m²-1）x²-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
组卷：1228引用：55难度：0.1
20．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P，Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求证：四边形MNBP是平行四边形；
（3）当t为何值时，四边形MNBP的面积取得最大值，最大值是多少？
组卷：28引用：1难度：0.1
21．
cos
60
°
sin
60
°
-
cos
45
°
-
cot
30
°
．
组卷：39引用：1难度：0.7
22．已知：如图矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，设
BA
=
a
，
AO
=
b
．
（1）填空：
BC
=
；（用a、b的式子表示）
（2）在图中求作
2
a
+
2
b
．
（不要求写出作法，只需写出结论即可．）
组卷：261引用：1难度：0.6
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+
2
3
3
x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（-
3
，0），tan∠ACO=
3
3
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S₁，△ABE的面积为S₂，求
S
1
S
2
的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′=OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
组卷：1873引用：4难度：0.1
24．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：
．（填“能“或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=
度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…），求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．

活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂=AA₁．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ₁=
，θ₂=
，θ₃=
（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
组卷：552引用：5难度：0.5
25．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（
3
取1.732，结果保留整数）
组卷：1746引用：67难度：0.5