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2023-2024学年江苏省南京师大附中高二（上）段考数学试卷（12月份）

发布：2025/8/3 18:0:20

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知xy＞0，向量
m
=（2x,1）与向量
n
=（
1
2
，-
1
2
y）垂直，x,y,2成等比数列，则x与y的等差中项为（　　）
A．
3
4
B．
3
2
C．
1
2
D．1
组卷：109引用：3难度：0.7
2．在边长为2的正三角形ABC中，
AB
•
AC
=（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
组卷：174引用：6难度：0.9
3．函数f（x）=x²-2lnx的单调递减区间为（　　）
A．（0，1） B．（-1，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
组卷：125引用：10难度：0.7
4．设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F作A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点，若A₁B⊥A₂C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A．±
1
2
B．±
2
2
C．±1 D．±
2
组卷：4720引用：33难度：0.9
5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，则点P处的切线平分∠F₁PF₂外角”．根据此信息回答下列问题：已知椭圆
C
：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
，
O
为坐标原点，l是点
P
（
2
，
2
）
处的切线，过左焦点F₁作l的垂线，垂足为M，则|OM|为（　　）
A．
2
2
B．2 C．3 D．
2
3
组卷：153引用：3难度：0.5
6．设函数
f
（
x
）
=
x
e
x
，则曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（　　）
A．e B．
e
2
C．
e
4
D．
e
8
组卷：74引用：2难度：0.5
7．已知F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点A为抛物线C上一点，|AF|=3且点A到直线x=-p的距离为5，则抛物线的方程为（　　）
A．y²=4x B．y²=6x C．y²=8x D．y²=10x
组卷：24引用：1难度：0.8
8．系统找不到该试题

二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f'（x），g'（x）分别为f（x），g（x）的导函数，f（x）+g'（x）=5，f（2-x）-g'（2+x）=5，若g（x）为奇函数，则下列等式一定成立的是（　　）
A．f（-2）=5 B．g（x+4）=g（x）
C．g'（8-x）=g'（x） D．f'（x+8）=f'（x）
组卷：467引用：4难度：0.5
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A．a₆=8 B．S₇=33
C．a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₂₀ D．a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=S₁₉
组卷：48引用：2难度：0.6
11．已知函数f（x）=sin|x|+|sinx|，则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间[-π，π]上有三个零点
C．f（x）在区间[-π，π]上有四个零点
D．f（x）的值域为[0，2]
组卷：5引用：0难度：0.5
12．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程可以为（　　）
A．
y
=
-
3
（
x
-
1
）
B．
y
=
-
3
3
（
x
-
1
）
C．
y
=
3
3
（
x
-
1
）
D．
y
=
3
（
x
-
1
）
组卷：102引用：2难度：0.5

三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且
a
4
S
4
=
1
12

，

S
7
-
S
4
=
15
，则S_n=
．
组卷：35引用：2难度：0.7
14．经过点P（3，-4）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是
组卷：83引用：1难度：0.7
15．已知函数f（x）=（x²+x）（x²-5x+6），则f（x）的最小值为
．
组卷：152引用：2难度：0.8
16．若函数
f
（
x
）
=
4
-
4
x
2
-
x
-
2
a
+
1
有两个零点，则实数a的取值范围为
．
组卷：49引用：4难度：0.5

四、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列{a_n}满足a₁=-4，a_n+a_n+1=2n-9．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若
b
n
=
2
n
-
3
•
a
n
，求数列{b_n}的前n项和T_n及其最小值．
组卷：114引用：3难度：0.4
18．已知函数h（x）=e^x，g（x）=cosx.
（1）证明：对任意x∈R，h（x）≥x+1；
（2）若函数f（x）=h（-x）+ag（x）-2（a∈R）在区间[0，π]上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）g'（x）是g（x）的导函数，若函数f（x）=h（x）+
1
2
xg'（x）-x-1，证明：∀x∈（0，+∞），f（x）＞0．
组卷：72引用：1难度：0.5
19．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S，T，若椭圆C的左焦点为F₁，求△F₁ST面积的最大值．
组卷：37引用：3难度：0.3
20．已知函数f（x）=4^x+1-2^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若
g
（
x
）
=
f
（
x
）
-
3
16
a
2
+
1
4
a
恰有两个零点，求实数a的取值范围．
组卷：36引用：2难度：0.6

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A．f（-2）=5	B．g（x+4）=g（x）
C．g'（8-x）=g'（x）	D．f'（x+8）=f'（x）

A．a₆=8	B．S₇=33
C．a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₂₀	D．a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=S₁₉

2023-2024学年江苏省南京师大附中高二（上）段考数学试卷（12月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知xy＞0，向量m=（2x,1）与向量n=（12，-12y）垂直，x,y,2成等比数列，则x与y的等差中项为（ ）

2．在边长为2的正三角形ABC中，AB•AC=（ ）

3．函数f（x）=x2-2lnx的单调递减区间为（ ）

4．设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）

6．设函数f（x）=xex，则曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）

7．已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点A为抛物线C上一点，|AF|=3且点A到直线x=-p的距离为5，则抛物线的方程为（ ）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f'（x），g'（x）分别为f（x），g（x）的导函数，f（x）+g'（x）=5，f（2-x）-g'（2+x）=5，若g（x）为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）

11．已知函数f（x）=sin|x|+|sinx|，则（ ）

12．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程可以为（ ）

三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4S4=112 ， S7-S4=15，则Sn=．

14．经过点P（3，-4）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是

15．已知函数f（x）=（x2+x）（x2-5x+6），则f（x）的最小值为．

16．若函数f（x）=4-4x2-x-2a+1有两个零点，则实数a的取值范围为 ．

四、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列{an}满足a1=-4，an+an+1=2n-9．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=2n-3•an，求数列{bn}的前n项和Tn及其最小值．

20．已知函数f（x）=4x+1-2x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f（x）-316a2+14a恰有两个零点，求实数a的取值范围．

1．已知xy＞0，向量
m
=（2x,1）与向量
n
=（
1
2
，-
1
2
y）垂直，x,y,2成等比数列，则x与y的等差中项为（　　）

2．在边长为2的正三角形ABC中，
AB
•
AC
=（　　）

3．函数f（x）=x²-2lnx的单调递减区间为（　　）

4．设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F作A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点，若A₁B⊥A₂C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

6．设函数
f
（
x
）
=
x
e
x
，则曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（　　）

7．已知F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点A为抛物线C上一点，|AF|=3且点A到直线x=-p的距离为5，则抛物线的方程为（　　）

9．已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f'（x），g'（x）分别为f（x），g（x）的导函数，f（x）+g'（x）=5，f（2-x）-g'（2+x）=5，若g（x）为奇函数，则下列等式一定成立的是（　　）

11．已知函数f（x）=sin|x|+|sinx|，则（　　）

12．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程可以为（　　）

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且
a
4
S
4
=
1
12

，

S
7
-
S
4
=
15
，则S_n=
．

15．已知函数f（x）=（x²+x）（x²-5x+6），则f（x）的最小值为
．

16．若函数
f
（
x
）
=
4
-
4
x
2
-
x
-
2
a
+
1
有两个零点，则实数a的取值范围为
．

17．已知数列{a_n}满足a₁=-4，a_n+a_n+1=2n-9．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若
b
n
=
2
n
-
3
•
a
n
，求数列{b_n}的前n项和T_n及其最小值．

20．已知函数f（x）=4^x+1-2^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若
g
（
x
）
=
f
（
x
）
-
3
16
a
2
+
1
4
a
恰有两个零点，求实数a的取值范围．