2024-2025学年江西省宜春市高安市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

• 1．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，以AC为边作平行四边形ACDE，E点在CB的延长线上，反比例函数y=

  k

  x

  （x＞0）过B点且与CD交于F点，CF=3DF，S_△ABF=6，则k的值为（　　）

  A．20

  B．24

  C．28

  D．30
  组卷：183引用：1难度：0.5

  解析

• 2．下列图形是中心对称图形的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：69引用：1难度：0.9

  解析

• 3．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（　　）

  A．相离	B．相交
  C．相切	D．以上三种情况均有可能
  组卷：6147引用：75难度：0.9

  解析

• 4．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，下列结论：①abc＞0，②b²-4ac＞0，③9a+3b+c＞0，④8a+c＜0，其中正确的个数为（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：474引用：6难度：0.6

  解析

• 5．若一元二次方程x²+mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）

  A．2

  B．±2

  C．±8

  D．±2 2
  组卷：708引用：9难度：0.7

  解析

• 6．下列属于随机事件的是（　　）

  A．抛一枚骰子两次出现点数之和为13

  B．抛一枚硬币，正好反面朝上

  C．从一副扑克牌中任抽2张都是红心5

  D．从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球
  组卷：96引用：4难度：0.7

  解析

二、填空题（每小题3分，共18分）

• 7．已知点（a,8）与点（7，-8）关于原点对称，则a=

  ．
  组卷：128引用：3难度：0.9

  解析

• 8．如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画弧BF，弧CE，若AB=1，则阴影部分的面积为

   

  ．
  组卷：380引用：4难度：0.5

  解析

• 9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在线段BC上，

  CD

  =

  3

  2

  ，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AB于点F，则AF的长为

  ．
  组卷：50引用：4难度：0.5

  解析

• 10．设一元二次方程x²-3x-1=0的两根分别是x₁，x₂，则x₁+x₂（

  x

  2

  2

  -3x₂）=

  ．
  组卷：1941引用：13难度：0.5

  解析

• 11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=

   

  度．
  组卷：6792引用：116难度：0.7

  解析

• 12．已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点都在反比例函数y=

  -

  5

  x

  的图象上，且x₁＞0＞x₂，则y₁

  y₂．（填“＞”“＜”或“=”）
  组卷：391引用：5难度：0.5

  解析

三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分）

• 13．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
  组卷：7021引用：21难度：0.1

  解析

• 14．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm,求油的最大深度．
  组卷：634引用：16难度：0.5

  解析

• 15．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
  （1）在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线．
  （2）在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
  
  组卷：989引用：3难度：0.3

  解析

• 16．【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
  【发现】根据你的阅读回答问题：
  （1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为

  ；
  （2）设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是

  ．
  【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n,…，56×4，57×3，58×2，59×1．
  猜想mn的最大值为

  ，并用你学过的知识加以证明．
  组卷：2775引用：21难度：0.3

  解析

• 17．如图，马大爷在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1.2米的墙体A处，另一端固定在离墙体6米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用y=

  -

  1

  5

  x²+bx+c表示．结合信息请回答：
  （1）直接写出b,c的值．
  （2）求大棚的最高点到地面的距离．
  （3）马大爷现库存7米钢材，准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点D，E分别在x轴、y轴上，且CE∥x轴，CD∥y轴），就如何选取点C的问题，小明说：“点C取在抛物线的顶点处，库存钢材才够用”，小慧说“点C在抛物线上任意位置，库存钢材都够用”，请问谁的说法正确？说明理由．
  组卷：397引用：2难度：0.4

  解析

四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）

• 18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
  （1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
  （2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
  组卷：3961引用：30难度：0.1

  解析

• 19．在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m,规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
  

  11	10	6	15	9	16	13	12	0	8
  2	8	10	17	6	13	7	5	7	3
  12	10	7	11	3	6	8	14	15	12

  （1）求样本数据中为A级的频率；
  （2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
  （3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．
  组卷：493引用：74难度：0.3

  解析

• 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC．用尺规在边BC求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）．
  组卷：60引用：1难度：0.5

  解析

五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）

• 21．如图，AB为⊙O的直径，AO=1．点E在⊙O上，C为

  ˆ

  BE

  的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，OC，EC．
  （1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
  （2）当AC=

  时，四边形AOCE为菱形．
  组卷：70引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知反比例函数

  y

  =

  k

  1

  3

  x

  的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（-1，a）、B（

  1

  3

  ，-3）两点，连接AO．
  （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
  （2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
  组卷：921引用：61难度：0.5

  解析

六、（本大题共1小题，共12分）

• 23．如图，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请解答下列问题：
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
  注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

  b

  2

  a

  ，

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  ）．
  组卷：2817引用：49难度：0.5

  解析