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2023-2024学年天津市南开区高二（上）期中数学试卷

发布：2025/7/30 4:0:17

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

1．已知空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点M在BC上，且MB=2MC，N为OA中点，则
MN
等于（　　）
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
3
c
B．
1
2
a
-
2
3
b
-
1
3
c
C．
-
1
2
a
-
1
3
b
+
1
2
c
D．
1
2
a
-
1
3
b
-
2
3
c
组卷：204引用：5难度：0.7
2．若点A（-2，2，1）关于y轴的对称点为A'，则向量
AA
′
的坐标为（　　）
A．（4，-4，-2） B．（0，-4，0） C．（4，0，-2） D．（-4，0，2）
组卷：727引用：2难度：0.8
3．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　）
A．（x+1）²+（y-3）²=29 B．（x-1）²+（y+3）²=29
C．（x+1）²+（y-3）²=116 D．（x-1）²+（y+3）²=116
组卷：686引用：14难度：0.9
4．圆心为（-2，3），半径是3的圆的标准方程为（　　）
A．（x-2）²+（y+3）²=9 B．（x+2）²+（y-3）²=3
C．（x+2）²+（y-3）²=9 D．（x-2）²+（y+3）²=3
组卷：77引用：1难度：0.9
5．若{
a
，
b
，
c
}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．
a
+
c
，
a
，
a
-
c
B．
a
+
b
，
a
+
b
+
c
，
c
C．
a
-
b
，
a
+
b
，
c
D．
a
-
b
，
b
+
c
，
a
+
c
组卷：96引用：2难度：0.8
6．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　）
A．（x+1）²+（y-3）²=29 B．（x-1）²+（y+3）²=29
C．（x+1）²+（y-3）²=116 D．（x-1）²+（y+3）²=116
组卷：3引用：2难度：0.6
7．直线y=x+1的倾斜角为（　　）
A．135° B．30° C．60° D．45°
组卷：39引用：8难度：0.9
8．不论m为何值，直线（2m-1）x+（m+2）y+5=0恒过定点（　　）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（1，2）
组卷：1508引用：5难度：0.7
9．已知A（1，-2，1），B（1，-5，4），C（2，3，4），则
AC
在
AB
上的投影向量为（　　）
A．（0，-1，1） B．（0，1，-1） C．
（
0
，
2
，-
2
）
D．
（
0
，-
2
，
2
）
组卷：1225引用：11难度：0.8
10．如图，空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则
MN
=（　　）
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
2
c
B．
-
2
3
a
+
1
2
b
+
1
2
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
2
3
c
D．
1
2
a
+
2
3
b
-
1
2
c
组卷：350引用：11难度：0.7

二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案

11．过点（3，4），且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程是
．
组卷：236引用：3难度：0.7
12．直线
3
x
+
y
-
3
=
0
的倾斜角为
．
组卷：50引用：4难度：0.9
13．若正方体外接球的体积是
9
2
π，则正方体的棱长等于

；该正方体内切球的表面积为

．
组卷：55引用：1难度：0.5
14．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P_i（i=1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=
AB
•
A
P
i
，i=1，2，3，…，8}中的元素个数为
．
组卷：151引用：4难度：0.7
15．直线3x+4y+5=0与圆x²+y²=10相交于A、B两点，则AB的长等于
．
组卷：22引用：1难度：0.8

三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）证明：D₁A∥平面C₁BD；
（2）求异面直线D₁A与BD所成的角．
组卷：332引用：6难度：0.6
17．已知在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（5，0），平面内动点P满足2|PA|=|PB|．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：x=5上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求
1
|
MQ
|
2
+
1
|
NQ
|
2
的最小值．
组卷：91引用：3难度：0.5
18．已知O为坐标原点，A（0，4），P是平面内一动点，且
PA
•
PO
=0，记动点P的轨迹为C．
（1）求C的方程．
（2）已知不经过原点且斜率存在的直线l与C相交于M，N两点，且k_OM•k_ON=-3，试问l是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，说明理由．
组卷：67引用：2难度：0.5
19．根据下列条件，求直线的方程：
（1）经过点A（2，5），斜率是4；
（2）经过点B（2，3），倾斜角是45°；
（3）经过点C（-1，-1），与x轴平行；
（4）经过点D（1，1），与x轴垂直．
组卷：14引用：1难度：0.7
20．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，N为AA₁中点，点P在线段CN上，且CP=2PN．
（1）证明：AB₁⊥CN；
（2）求平面ABC与平面AB₁P夹角的正弦值．
组卷：36引用：1难度：0.4

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A． 1 2 a - 2 3 b + 1 3 c	B． 1 2 a - 2 3 b - 1 3 c
C． - 1 2 a - 1 3 b + 1 2 c	D． 1 2 a - 1 3 b - 2 3 c

A．（x+1）²+（y-3）²=29	B．（x-1）²+（y+3）²=29
C．（x+1）²+（y-3）²=116	D．（x-1）²+（y+3）²=116

A．（x-2）²+（y+3）²=9	B．（x+2）²+（y-3）²=3
C．（x+2）²+（y-3）²=9	D．（x-2）²+（y+3）²=3

A． a + c ， a ， a - c	B． a + b ， a + b + c ， c
C． a - b ， a + b ， c	D． a - b ， b + c ， a + c

A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 1 2 a + 2 3 b - 1 2 c

2023-2024学年天津市南开区高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

1．已知空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在BC上，且MB=2MC，N为OA中点，则MN等于（ ）

2．若点A（-2，2，1）关于y轴的对称点为A'，则向量AA′的坐标为（ ）

3．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）

4．圆心为（-2，3），半径是3的圆的标准方程为（ ）

5．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）

6．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）

7．直线y=x+1的倾斜角为（ ）

8．不论m为何值，直线（2m-1）x+（m+2）y+5=0恒过定点（ ）

9．已知A（1，-2，1），B（1，-5，4），C（2，3，4），则AC在AB上的投影向量为（ ）

10．如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则MN=（ ）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案

11．过点（3，4），且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程是．

12．直线3x+y-3=0的倾斜角为 ．

13．若正方体外接球的体积是92π，则正方体的棱长等于 ；该正方体内切球的表面积为 ．

14．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=AB•APi，i=1，2，3，…，8}中的元素个数为 ．

15．直线3x+4y+5=0与圆x2+y2=10相交于A、B两点，则AB的长等于 ．

三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）证明：D1A∥平面C1BD；（2）求异面直线D1A与BD所成的角．

19．根据下列条件，求直线的方程：（1）经过点A（2，5），斜率是4；（2）经过点B（2，3），倾斜角是45°；（3）经过点C（-1，-1），与x轴平行；（4）经过点D（1，1），与x轴垂直．

20．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，N为AA1中点，点P在线段CN上，且CP=2PN．（1）证明：AB1⊥CN；（2）求平面ABC与平面AB1P夹角的正弦值．

1．已知空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点M在BC上，且MB=2MC，N为OA中点，则
MN
等于（　　）

2．若点A（-2，2，1）关于y轴的对称点为A'，则向量
AA
′
的坐标为（　　）

3．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　）

4．圆心为（-2，3），半径是3的圆的标准方程为（　　）

5．若{
a
，
b
，
c
}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）

6．已知A（-4，-5）、B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　）

7．直线y=x+1的倾斜角为（　　）

8．不论m为何值，直线（2m-1）x+（m+2）y+5=0恒过定点（　　）

9．已知A（1，-2，1），B（1，-5，4），C（2，3，4），则
AC
在
AB
上的投影向量为（　　）

10．如图，空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则
MN
=（　　）

11．过点（3，4），且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程是
．

12．直线
3
x
+
y
-
3
=
0
的倾斜角为
．

13．若正方体外接球的体积是
9
2
π，则正方体的棱长等于

；该正方体内切球的表面积为

．

14．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P_i（i=1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=
AB
•
A
P
i
，i=1，2，3，…，8}中的元素个数为
．

15．直线3x+4y+5=0与圆x²+y²=10相交于A、B两点，则AB的长等于
．

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）证明：D₁A∥平面C₁BD；
（2）求异面直线D₁A与BD所成的角．

19．根据下列条件，求直线的方程：
（1）经过点A（2，5），斜率是4；
（2）经过点B（2，3），倾斜角是45°；
（3）经过点C（-1，-1），与x轴平行；
（4）经过点D（1，1），与x轴垂直．

20．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，N为AA₁中点，点P在线段CN上，且CP=2PN．
（1）证明：AB₁⊥CN；
（2）求平面ABC与平面AB₁P夹角的正弦值．