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2024-2025学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试卷

发布：2025/7/22 9:0:8

一、选择题（每题3分，共30分）

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（　　）支小分支．
A．7 B．8 C．9 D．10
组卷：647引用：5难度：0.5
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x²+2x-y=0 B．x²-x+1=0 C．x+y+2=0 D．x²+
1
x
+2=0
组卷：44引用：3难度：0.9
3．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
组卷：4629引用：31难度：0.7
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，若∠CAB=40°，则∠CAD=（　　）
A．30° B．40° C．50° D．25°
组卷：1295引用：5难度：0.7
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
组卷：2036引用：105难度：0.7
6．若△ABC与△A₁B₁C₁相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（　　）
A．2：5，4：5 B．2：5，4：25 C．4：25，4：25 D．4：25，2：5
组卷：778引用：5难度：0.7

7．下列命题中，正确的是（　　）

A．圆只有一条对称轴

B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

组卷：683引用：6难度：0.9

8．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）
A．
2
3
B．
3
3
C．
4
3
D．
6
3
组卷：225引用：19难度：0.9
9．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，若∠MON=54°，则∠APB的度数为（　　）
A．153° B．144° C．163° D．162°
组卷：440引用：4难度：0.6
10．已知一元二次方程x²-3x+1=0有两个实数根x₁，x₂，则x₁+x₂-x₁x₂的值为（　　）
A．6 B．2 C．4 D．3
组卷：822引用：5难度：0.5

二、填空题（每题3分，共24分）

11．如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=

°．
组卷：579引用：57难度：0.7
12．关于x的方程（m-4）x²+（m+4）x+2m+3=0，当m
时，是一元二次方程；当m
时，是一元一次方程．
组卷：221引用：6难度：0.9
13．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm,则AC的长约为
cm（结果精确到0.1cm）．
组卷：598引用：34难度：0.7
14．如图，菱形OABC中，∠OCB=60°，点C坐标为（-2，0），过点D（2，0）作直线l分别交AO、OB于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y=
k
x
（x＜0）的图象上，若△BEF和△ODG（即图中两阴影部分）的面积之比为4：3，则k值为
．
组卷：2435引用：6难度：0.1
15．如图，直线y=-
3
4
x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．
组卷：4768引用：25难度：0.4
16．如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC=1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是
．
组卷：490引用：8难度：0.7
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+
2
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为

．
组卷：1027引用：60难度：0.5
18．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度
．
组卷：175引用：3难度：0.7

三、解答题（共96分）

19．解方程：（x-1）²-16=0．
组卷：2293引用：12难度：0.8
20．已知关于x的一元二次方程x²+（m-6）x-6m=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．
组卷：589引用：11难度：0.6
21．【操作发现】如图，现有1×1，1×a,1×b,a×b的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到一个等式，这个等式是
．

【应用探究】对于一个正整数n,若能找到正整数a,b,使得n=a+b+ab,则称n为一个“奇妙数”．例如3=1+1+1×1，则3就是一个“奇妙数”．根据“奇妙数”的规定，解决下列问题：
（1）7是不是一个“奇妙数”？为什么？
（2）从1到15这15个正整数中“奇妙数”有哪些？
【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1、
1
2
、
1
3
、
1
4
、…、
1
60
共60个数字．小王老师要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取2个数a、b,然后删去这两个数a和b,同时在黑板上写出与a+b+ab的值相等的数．试求经过59次操作后黑板上剩下的数．
组卷：78引用：1难度：0.5
22．如图，直线l：y=-
2
3
x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点C（0，1），以线段BC为边向右作正方形BCDE，正方形BCDE沿CD的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l上，求t的值；
（3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t,使得OP+PA有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
组卷：1442引用：3难度：0.3
23．如图，BC为⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DA⊥AB于点A．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）⊙O交AB于点E，若AD=2AE，求sin∠ABC的值．
组卷：48引用：1难度：0.4
24．如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求证：AC∥FB；
（3）若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求
AB
BC
的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
组卷：368引用：2难度：0.4
25．如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．
组卷：116引用：3难度：0.5
26．在平面直角坐标系中，A（6，a），B（b,0），M（0，c），且
（
b
-
2
）
2
+
|
a
-
6
|
+
c
-
6
=
0
，P点为y轴上一动点．

（1）求点B、M的坐标；
（2）当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S_△PAB=13，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）不论点P点运动到直线OM上的任何位置（不包括点O，M），∠PAM、∠APB、∠PBO三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请写出来并请选择其中一种结论进行证明；如果没有，请说明理由．
组卷：36引用：3难度：0.1
27．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
组卷：3076引用：51难度：0.1
28．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）．
（1）将△ABC向右平移3个单位得到△A₁B₁C₁，请画出平移后的△A₁B₁C₁；
（2）请以原点O为位似中心，在第四象限内画出△ABC的位似图形△A₂B₂C₂，使△ABC与△A₂B₂C₂的位似比为2：1．
组卷：44引用：2难度：0.3

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2024-2025学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（ ）支小分支．

2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）

3．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）

4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，若∠CAB=40°，则∠CAD=（ ）

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）

6．若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（ ）

7．下列命题中，正确的是（ ）

8．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）

9．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，若∠MON=54°，则∠APB的度数为（ ）

10．已知一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为（ ）

二、填空题（每题3分，共24分）

11．如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= °．

12．关于x的方程（m-4）x2+（m+4）x+2m+3=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程．

13．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm,则AC的长约为cm（结果精确到0.1cm）．

14．如图，菱形OABC中，∠OCB=60°，点C坐标为（-2，0），过点D（2，0）作直线l分别交AO、OB于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，若△BEF和△ODG（即图中两阴影部分）的面积之比为4：3，则k值为．

15．如图，直线y=-34x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．

16．如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC=1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是．

17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+2与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 ．

18．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度 ．

三、解答题（共96分）

19．解方程：（x-1）2-16=0．

20．已知关于x的一元二次方程x2+（m-6）x-6m=0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．

23．如图，BC为⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DA⊥AB于点A．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）⊙O交AB于点E，若AD=2AE，求sin∠ABC的值．

25．如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连接AM，BN相交于H．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠AHB的度数．

27．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（　　）支小分支．

2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

3．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（　　）

4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，若∠CAB=40°，则∠CAD=（　　）

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

6．若△ABC与△A₁B₁C₁相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（　　）

7．下列命题中，正确的是（　　）

8．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

9．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，若∠MON=54°，则∠APB的度数为（　　）

10．已知一元二次方程x²-3x+1=0有两个实数根x₁，x₂，则x₁+x₂-x₁x₂的值为（　　）

11．如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=

°．

12．关于x的方程（m-4）x²+（m+4）x+2m+3=0，当m
时，是一元二次方程；当m
时，是一元一次方程．

13．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm,则AC的长约为
cm（结果精确到0.1cm）．

14．如图，菱形OABC中，∠OCB=60°，点C坐标为（-2，0），过点D（2，0）作直线l分别交AO、OB于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y=
k
x
（x＜0）的图象上，若△BEF和△ODG（即图中两阴影部分）的面积之比为4：3，则k值为
．

15．如图，直线y=-
3
4
x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．

16．如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC=1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是
．

17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+
2
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为

．

18．已知有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段．使这四条线段成比例，求所添线段的长度
．

19．解方程：（x-1）²-16=0．

20．已知关于x的一元二次方程x²+（m-6）x-6m=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．

23．如图，BC为⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DA⊥AB于点A．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）⊙O交AB于点E，若AD=2AE，求sin∠ABC的值．

25．如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．

27．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．