2020年山东省新高考数学原创试卷（一）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．如图，已知二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l.若

  AB

  =

  4

  ，

  AC

  =

  6

  ，

  BD

  =

  8

  ，

  CD

  =

  2

  17

  ，平面α与平面β的夹角为（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． 2 π 3
  组卷：64引用：2难度：0.6

  解析

• 2．直线y=x-2被圆（x-2）²+（y+1）²=4所截得的弦长为（　　）

  A．4

  B．3 2

  C．2 3

  D． 14
  组卷：480引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知F₁、F₂为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，∠F₁PF₂=60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（　　）

  A． 2 3

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  组卷：111引用：3难度：0.5

  解析

• 4．角α的终边过点P（12，5），则cosα=（　　）

  A． 5 13

  B． 12 13

  C． 12 5

  D． 5 12
  组卷：158引用：2难度：0.9

  解析

• 5．复数

  z

  =

  cos

  2

  π

  3

  -

  isin

  π

  3

  ，则复数的z³=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：29引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知集合A={x|-1＜x≤2}，B={-1，0，1}，则A∩B=（　　）

  A．{-1，0，1}

  B．{-1，0}

  C．{0，1}

  D．{0，1，2}
  组卷：129引用：8难度：0.9

  解析

• 7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数f（x）=（x+

  1

  x

  ）ln|

  1

  x

  |的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：198引用：4难度：0.9

  解析

• 8．设

  a

  =

  2

  0

  .

  8

  ，

  b

  =

  （

  1

  2

  ）

  -

  0

  .

  9

  ，

  c

  =

  lo

  g

  0

  .

  6

  0

  .

  7

  ，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  组卷：537引用：11难度：0.7

  解析

二、多项选择题（本題共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分对的得3分，有选错的得0分）

• 9．下列说法正确的是（　　）

  A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

  B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心 （ x ， y ）

  C．在一个2×2列联表中，计算得到χ2的值，若χ2的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大

  D．利用独立性检验推断“A与B是否有关”，根据数据算得χ2=6.352，已知P（χ2=5.024）=0.025，P（χ2=6.635）=0.01，则有超过97.5%的把握认为A与B无关
  组卷：28引用：1难度：0.7

  解析

• 10．设符号函数

  sgn

  （

  x

  ）

  =

  - 1 ， x ＜ 0

  0 ， x = 0

  1 ， x ＞ 0

  ，已知函数f（x）=2sgn（cosx）cosx,则（　　）

  A．π为f（x）的周期

  B．f（x）图象的对称轴方程为 x = kπ 2 （ k ∈ Z ）

  C．f（x）在 [ 2 π 3 ， 4 π 3 ] 上单调递增

  D．函数g（x）=f（x）-1在[-π，2π]上有6个零点
  组卷：22引用：1难度：0.6

  解析

• 11．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l,经过C上的点M作C的切线m,m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为M₁，则（　　）

  A．|PF|=|PQ|	B．N为M1F中点
  C．若P（-2，3），则|MF|=10	D．若∠MPF=60°，则|M1Q|=2p
  组卷：102引用：2难度：0.6

  解析

• 12．中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况．如图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是（　　）
  

  A．2019年全年仓储业务量指数的极差为24%

  B．两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高

  C．两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年

  D．2019年仓储业务量指数的中位数为59%
  组卷：86引用：3难度：0.8

  解析

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

• 13．已知向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则实数x=

  ．
  组卷：118引用：4难度：0.8

  解析

• 14．下面几种推理
  ①由圆的性质类比出球的有关性质；
  ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
  ③由f（x）=sinx,满足f（-x）=-f（x），x∈R，推出f（x）=sinx是奇函数；
  ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n-2）•180°．
  是合情推理的是

  ．
  组卷：2引用：3难度：0.6

  解析

• 15．已知四边形ABCD为平行四边形，AB=4，AD=3，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥A′-BCD，若

  A

  ′

  C

  =

  13

  ，则三棱锥A′-BCD的外接球半径为

  ．
  组卷：22引用：1难度：0.5

  解析

• 16．已知函数y=f（x）的图像是连续不断的，有如下的对应值表：
  

  x	1	2	3	4	5	6
  y	-5	2	8	12	-5	-10

  则函数y=f（x）在x∈[1，6]上的零点至少有

  个．
  组卷：57引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题（本题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 17．已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）²=a²-bc.
  （1）求角A的大小；
  （2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．
  组卷：190引用：17难度：0.7

  解析

• 18．人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型

  d

  x

  =

  d

  0

  e

  -

  bx

  是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（x=1时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；x=2时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；d₀是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；e=2.71828…．
  下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
  

  年份	d0	b
  2006	2.2	0.13
  2016	2.3	0.10

  （Ⅰ）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：e^-0.26≈0.77，结果保留一位小数）；
  （Ⅱ）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的

  2

  3

  ，求该环是这个城市的多少环．
  （参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
  组卷：174引用：1难度：0.8

  解析

• 19．已知等差数列{a_n}中，a₂=2，a₁+a₅=6．
  （1）求{a_n}的通项公式；
  （2）若

  b

  n

  =

  2

  a

  n

  ，求数列{b_n}的前n项和S_n．
  组卷：325引用：12难度：0.7

  解析

• 20．已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，EF∥AB，AE=DE，AB=2，EF=1，平面ADE⊥平面ABCD，

  BM

  =

  1

  3

  BF

  ，

  AN

  =

  1

  2

  AD

  ．
  （1）求证：EN⊥BC；
  （2）若直线AE与平面ABCD所成角为60°，求直线AM与平面BCF所成角的正弦值．
  组卷：65引用：1难度：0.5

  解析

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，焦距为2．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线l与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线AB，AD分别与直线x=4交于M，N两点，试问∠MFN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
  组卷：105引用：3难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx+

  1

  2

  ax²-（a+1）x（a∈R）．
  （1）当a=2时，求函数y=f（x）的极值；
  （2）求当a＞0时，函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值Q（a）；
  （3）若关于x的方程f（x）=

  1

  2

  ax²有两个不同实根x₁，x₂，求实数a的取值范围并证明：x₁•x₂＞e²．
  组卷：439引用：3难度：0.1

  解析