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2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷

发布：2025/7/26 16:0:16

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知sin18°=m,则
cos
24
°
+
3
sin
24
°
=（　　）
A．4m²-2 B．2-4m² C．
4
m
1
-
m
2
D．
-
4
m
1
-
m
2
组卷：26引用：2难度：0.6
2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的是（　　）
A．10⁰=1与lg1=0
B．
2
7
-
1
3
=
1
3
与log₂₇
1
3
=-
1
3
C．log₃9=2与
9
1
2
=3
D．log₅5=1与5¹=5
组卷：323引用：3难度：0.8
3．函数
f
（
x
）
=
3
sinxcosx
+
1
2
cos
2
x
的最小正周期和振幅分别是（　　）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
组卷：18引用：2难度：0.7
4．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=
m
k
，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k₁，k₂的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足
1
k
=
1
k
1
+
1
k
2
，并联时得到的弹簧系数k满足k=k₁+k₂．已知物体质量为20g,当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm,则并联时弹簧拉伸的最大距离为（　　）
A．
1
4
cm B．
1
2
cm C．1cm D．2cm
组卷：94引用：3难度：0.5
5．若集合A={x|x²-x-2＜0}，B={x|x²＜1}，则A∩B=（　　）
A．A B．B C．（-1，0） D．（0，2）
组卷：106引用：1难度：0.8
6．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁_RQ⫋∁_RP，则下列结论正确的是（　　）
A．∀x∈Q，x∈P B．∃x₀∈∁_RP，x₀∈∁_RQ
C．∃x₀∉Q，x₀∈P D．∀x₀∈∁_RP，x₀∈∁_RQ
组卷：92引用：1难度：0.7
7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[-2，0]时，
f
（
x
）
=
（
1
2
）
x
-
1
，若在区间（-2，6]内方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，2] B．（2，+∞） C．
（
1
，
3
4
）
D．
（
3
4
，
2
）
组卷：93引用：7难度：0.6
8．下列关系式中，正确的是（　　）
A．sin1＜cos1＜tan1 B．cos1＜sin1＜tan1
C．tan1＜sin1＜cos1 D．cos1＜tan1＜sin1
组卷：70引用：2难度：0.7
9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y=2^x B．y=x^-1 C．y=cosx D．y=ln|x|
组卷：33引用：1难度：0.7
10．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（　　）
A．ab＞ac B．c（b-a）＜0 C．cb²＜ab² D．ac（a-c）＞0
组卷：179引用：5难度：0.7

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若x₁、x₂是方程x²+2x=3=0的两根，则
1
x
1
+
1
x
2
=
．
组卷：25引用：1难度：0.8
12．小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合P={（x,y）|（x-cosθ）²+（y+sinθ）²=4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为
．
组卷：40引用：2难度：0.4
13．命题p：∀x∈R，x²+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为
．
组卷：103引用：3难度：0.9
14．函数y=log₃（ax²-2x+1）的定义域为R，则a的取值范围是
．
组卷：41引用：3难度：0.7
15．函数
y
=
f
（
x
）
=
sin
2
x
,
x
∈
[
-
π
6
，
π
3
]
的最大值为
．
组卷：71引用：1难度：0.8

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

16．已知
sinθ
=
4
5
，θ为第二象限角．
（1）求sin2θ的值；
（2）求
sin
（
θ
+
π
4
）
的值．
组卷：170引用：2难度：0.8
17．给定正整数k≥2，设集合M={（x₁，x₂，…，x_k）|x_i∈{0，1}，i=1，2，…，k}．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素（y₁，y₂，…，y_k），（z₁，z₂，…，z_k），有y₁+y₂+…+y_k=z₁+z₂+…+z_k，且y₁+z₁，y₂+z₂，…，y_k+z_k中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
（1）当k=2时，判断A={（1，0），（0，1）}是否具有性质P；（结论无需证明）
（2）当k=3时，写出一个具有性质P的集合A；
（3）当k=4时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
组卷：71引用：2难度：0.5
18．已知集合A是函数y=lg（20-8x-x²）的定义域，集合B是不等式x²-2x+1-a²≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
组卷：707引用：10难度：0.3
19．设a∈R，函数f（x）=（a-x）|x|．
（1）若a=1，在直角坐标系中作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间．
（2）若函数y=f（x+2023）的图象关于点（-2023，0）对称，且对于任意的x∈[-2，2]，不等式mx²+m＞f[f（x）]恒成立，求实数m的范围．
组卷：16引用：2难度：0.5

20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm²）．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量．为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm²）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：

组别 1 2 3 4 5 6 7

声强I
（W/cm²） 10^-11 2×10^-11 3×10^-11 4×10^-11 10^-10 ① 9×10^-7

声强级D（dB） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②

现有以下三种函数模型供选择：D=kI+b,D=a•I²+c,D=mlgI+n.
（1）试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；
（3）已知烟花的噪声分贝一般在（90，100），其声强为I₁；鞭炮的噪声分贝一般在（100，110），其声强为I₂；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在（135，145），其声强为I₃，试判断I₁I₃与I₂²的大小关系，并说明理由．

组卷：178引用：9难度：0.5

21．已知函数
f
（
x
）
=
2
3
sinxcosx
+
si
n
2
x
-
co
s
2
x
．
（1）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的对称轴方程；
（2）若α为锐角，
f
（
α
）
=
3
，求α的值．
组卷：98引用：2难度：0.6

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A．∀x∈Q，x∈P	B．∃x₀∈∁_RP，x₀∈∁_RQ
C．∃x₀∉Q，x₀∈P	D．∀x₀∈∁_RP，x₀∈∁_RQ

A．sin1＜cos1＜tan1	B．cos1＜sin1＜tan1
C．tan1＜sin1＜cos1	D．cos1＜tan1＜sin1

组别	1	2	3	4	5	6	7
声强I （W/cm²）	10^-11	2×10^-11	3×10^-11	4×10^-11	10^-10	①	9×10^-7
声强级D（dB）	10	13.01	14.77	16.02	20	40	②

2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知sin18°=m,则cos24°+3sin24°=（ ）

2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的是（ ）

3．函数f（x）=3sinxcosx+12cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）

5．若集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（ ）

6．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ⫋∁RP，则下列结论正确的是（ ）

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）x-1，若在区间（-2，6]内方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）

8．下列关系式中，正确的是（ ）

9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

10．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（ ）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若x1、x2是方程x2+2x=3=0的两根，则1x1+1x2=．

13．命题p：∀x∈R，x2+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为 ．

14．函数y=log3（ax2-2x+1）的定义域为R，则a的取值范围是．

15．函数y=f（x）=sin2x,x∈[-π6，π3]的最大值为 ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

16．已知sinθ=45，θ为第二象限角．（1）求sin2θ的值；（2）求sin（θ+π4）的值．

18．已知集合A是函数y=lg（20-8x-x2）的定义域，集合B是不等式x2-2x+1-a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

21．已知函数f（x）=23sinxcosx+sin2x-cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的对称轴方程；（2）若α为锐角，f（α）=3，求α的值．

1．已知sin18°=m,则
cos
24
°
+
3
sin
24
°
=（　　）

2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的是（　　）

3．函数
f
（
x
）
=
3
sinxcosx
+
1
2
cos
2
x
的最小正周期和振幅分别是（　　）

5．若集合A={x|x²-x-2＜0}，B={x|x²＜1}，则A∩B=（　　）

6．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁_RQ⫋∁_RP，则下列结论正确的是（　　）

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[-2，0]时，
f
（
x
）
=
（
1
2
）
x
-
1
，若在区间（-2，6]内方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

8．下列关系式中，正确的是（　　）

9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

10．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（　　）

11．若x₁、x₂是方程x²+2x=3=0的两根，则
1
x
1
+
1
x
2
=
．

13．命题p：∀x∈R，x²+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为
．

14．函数y=log₃（ax²-2x+1）的定义域为R，则a的取值范围是
．

15．函数
y
=
f
（
x
）
=
sin
2
x
,
x
∈
[
-
π
6
，
π
3
]
的最大值为
．

16．已知
sinθ
=
4
5
，θ为第二象限角．
（1）求sin2θ的值；
（2）求
sin
（
θ
+
π
4
）
的值．

18．已知集合A是函数y=lg（20-8x-x²）的定义域，集合B是不等式x²-2x+1-a²≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

21．已知函数
f
（
x
）
=
2
3
sinxcosx
+
si
n
2
x
-
co
s
2
x
．
（1）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的对称轴方程；
（2）若α为锐角，
f
（
α
）
=
3
，求α的值．