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2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）

发布：2025/7/25 10:0:14

一、选择题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f（x）=x•e^x的最小值是（　　）
A．-1 B．-e C．
-
1
e
D．不存在
组卷：326引用：3难度：0.6
2．已知f′（4）=3，则
lim
Δ
x
→
0
f
（
4
+
Δ
x
）
-
f
（
4
）
Δ
x
=（　　）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
组卷：26引用：2难度：0.8
3．如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=
π
2
，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（　　）
A．
2
4
B．
2
2
C．
10
4
D．
5
2
组卷：123引用：6难度：0.5
4．设
u
=（-2，2，t），
v
=（6，-4，4）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于（　　）
A．6 B．5 C．4
组卷：183引用：3难度：0.8
5．设x₀是函数
f
（
x
）
=
1
2
x
2
+
mx
+
lnx
（
x
＞
0
）
的极值点，若满足不等式
1
2
≤
x
0
≤
3
的实数x₀有且只有一个，则实数m的取值范围是（　　）
A．
（
-
10
3
，-
5
2
）
B．
[
-
10
3
，-
5
2
）
C．
（
-
10
3
，-
5
2
]
D．
[
-
10
3
，-
5
2
]
组卷：143引用：5难度：0.6
6．若过点（m,n）（m＞0）可作曲线y=x³-3x三条切线，则（　　）
A．n＜-3m B．n＞m³-3m
C．n=m³-3m或n=-3m D．-3m＜n＜m³-3m
组卷：261引用：1难度：0.6
7．已知向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|=
2
，
a
•
b
=0．若（
a
+λ
b
）⊥（μ
a
+
b
），则下列各式一定成立的是（　　）
A．λ+μ=0 B．λ+μ=-1 C．λμ=0 D．λμ=-1
组卷：60引用：3难度：0.8
8．函数f（x）=（x-1）（e^x-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（-∞，-1）
C．（1，e-1）∪（e-1，+∞） D．（-∞，1-e）∪（1-e,+∞）
组卷：61引用：2难度：0.7
9．化简：
AB
+
OM
+
BO
+
MC
=（　　）
A．
BC
B．
AC
C．
CO
D．
AO
组卷：77引用：1难度：0.9
10．已知函数f（x）=
xlnx
,
x
＞
0
x
e
x
，
x
≤
0
，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
组卷：183引用：2难度：0.8
11．下列求导不正确的是（　　）
A．（3x²+cosx）′=6x-sinx
B．（x•e^x）′=（x+1）e^x
C．（2sin2x）′=2cos2x
D．（
sinx
x
）′=
xcosx
-
sinx
x
2
组卷：397引用：7难度：0.8
12．系统找不到该试题

二、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．△ABC是边长为
2
3
的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF∥BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为
．
组卷：70引用：5难度：0.5
14．函数f（x）=x+
2
x
-lnx的单调递增区间是
．
组卷：154引用：3难度：0.6
15．函数f（x）=
4
-
x
,
x
≤
0
4
-
x
2
，
0
＜
x
≤
2
，则
∫
2
-
2
f（x）dx的值为
．
组卷：58引用：5难度：0.5
16．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若
OA
=2
OB
+μ
OC
，则μ=
；如果存在三个不为0的实数λ，m,n,使λ
OA
+m
OB
+n
OC
=
0
，那么λ+m+n的值为
．
组卷：52引用：0难度：0.7

三、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知空间中三点A（2，0，-2），B（1，-1，3），C（3，0，1），设
a
=
AB
，
b
=
AC
．
（1）若|
c
|=3，且
c
∥
BC
，求向量
c
；
（2）已知向量
a
+
k
b
与
b
互相垂直，求k的值．
组卷：93引用：3难度：0.8
18．如图①在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），D（0，2），
B
（
3
，
0
）
，
E
（
3
，
1
）
，动点P在线段OD上．（1）求
|
PD
+
3
PE
|
的最小值；
（2）以四边形OBED为底面做四棱锥A-OBED如图②，使OD⊥平面ABO，且OB=BA，求证：平面ADE⊥平面AOD．
组卷：63引用：1难度：0.5
19．已知f（x）=ax-lnx,a∈R．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最小值是3，求a的值．
组卷：18引用：2难度：0.5
20．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化，如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．
（1）若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
组卷：14引用：1难度：0.6
21．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）讨论函数y=f（x）-a的零点个数；
（2）若a＞-1且函数y=f（x）-a有两个零点x₁，x₂，证明：
|
x
1
-
x
2
|
＜
（
2
a
+
1
）
2
．
组卷：108引用：1难度：0.1
22．已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，EF∥AB，AE=DE，AB=2，EF=1，平面ADE⊥平面ABCD，
BM
=
1
3
BF
，
AN
=
1
2
AD
．
（1）求证：EN⊥BC；
（2）若直线AE与平面ABCD所成角为60°，求直线AM与平面BCF所成角的正弦值．
组卷：69引用：1难度：0.5

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A．n＜-3m	B．n＞m³-3m
C．n=m³-3m或n=-3m	D．-3m＜n＜m³-3m

A．（1，+∞）	B．（-∞，-1）
C．（1，e-1）∪（e-1，+∞）	D．（-∞，1-e）∪（1-e,+∞）

A．	B．
C．	D．

4 - x ,	x ≤ 0
4 - x 2 ，	0 ＜ x ≤ 2

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f（x）=x•ex的最小值是（ ）

2．已知f′（4）=3，则limΔx→0f（4+Δx）-f（4）Δx=（ ）

3．如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（ ）

4．设u=（-2，2，t），v=（6，-4，4）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于（ ）

5．设x0是函数f（x）=12x2+mx+lnx（x＞0）的极值点，若满足不等式12≤x0≤3的实数x0有且只有一个，则实数m的取值范围是（ ）

6．若过点（m,n）（m＞0）可作曲线y=x3-3x三条切线，则（ ）

7．已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a•b=0．若（a+λb）⊥（μa+b），则下列各式一定成立的是（ ）

8．函数f（x）=（x-1）（ex-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

9．化简：AB+OM+BO+MC=（ ）

10．已知函数f（x）=xlnx,x＞0xex，x≤0，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）

11．下列求导不正确的是（ ）

二、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF∥BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为 ．

14．函数f（x）=x+2x-lnx的单调递增区间是 ．

15．函数f（x）=4-x,x≤04-x2，0＜x≤2，则∫2-2f（x）dx的值为．

16．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若OA=2OB+μOC，则μ=；如果存在三个不为0的实数λ，m,n,使λOA+mOB+nOC=0，那么λ+m+n的值为 ．

三、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知空间中三点A（2，0，-2），B（1，-1，3），C（3，0，1），设a=AB，b=AC．（1）若|c|=3，且c∥BC，求向量c；（2）已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值．

18．如图①在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），D（0，2），B（3，0），E（3，1），动点P在线段OD上．（1）求|PD+3PE|的最小值；（2）以四边形OBED为底面做四棱锥A-OBED如图②，使OD⊥平面ABO，且OB=BA，求证：平面ADE⊥平面AOD．

19．已知f（x）=ax-lnx,a∈R．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最小值是3，求a的值．

21．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（1）讨论函数y=f（x）-a的零点个数；（2）若a＞-1且函数y=f（x）-a有两个零点x1，x2，证明：|x1-x2|＜（2a+1）2．

22．已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，EF∥AB，AE=DE，AB=2，EF=1，平面ADE⊥平面ABCD，BM=13BF，AN=12AD．（1）求证：EN⊥BC；（2）若直线AE与平面ABCD所成角为60°，求直线AM与平面BCF所成角的正弦值．

1．函数f（x）=x•e^x的最小值是（　　）

2．已知f′（4）=3，则
lim
Δ
x
→
0
f
（
4
+
Δ
x
）
-
f
（
4
）
Δ
x
=（　　）

3．如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=
π
2
，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（　　）

4．设
u
=（-2，2，t），
v
=（6，-4，4）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于（　　）

5．设x₀是函数
f
（
x
）
=
1
2
x
2
+
mx
+
lnx
（
x
＞
0
）
的极值点，若满足不等式
1
2
≤
x
0
≤
3
的实数x₀有且只有一个，则实数m的取值范围是（　　）

6．若过点（m,n）（m＞0）可作曲线y=x³-3x三条切线，则（　　）

7．已知向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|=
2
，
a
•
b
=0．若（
a
+λ
b
）⊥（μ
a
+
b
），则下列各式一定成立的是（　　）

8．函数f（x）=（x-1）（e^x-x-a）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

9．化简：
AB
+
OM
+
BO
+
MC
=（　　）

10．已知函数f（x）=
xlnx
,
x
＞
0
x
e
x
，
x
≤
0
，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）

11．下列求导不正确的是（　　）

13．△ABC是边长为
2
3
的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF∥BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为
．

14．函数f（x）=x+
2
x
-lnx的单调递增区间是
．

15．函数f（x）=
4
-
x
,
x
≤
0
4
-
x
2
，
0
＜
x
≤
2
，则
∫
2
-
2
f（x）dx的值为
．

16．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若
OA
=2
OB
+μ
OC
，则μ=
；如果存在三个不为0的实数λ，m,n,使λ
OA
+m
OB
+n
OC
=
0
，那么λ+m+n的值为
．

17．已知空间中三点A（2，0，-2），B（1，-1，3），C（3，0，1），设
a
=
AB
，
b
=
AC
．
（1）若|
c
|=3，且
c
∥
BC
，求向量
c
；
（2）已知向量
a
+
k
b
与
b
互相垂直，求k的值．

19．已知f（x）=ax-lnx,a∈R．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最小值是3，求a的值．

21．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）讨论函数y=f（x）-a的零点个数；
（2）若a＞-1且函数y=f（x）-a有两个零点x₁，x₂，证明：
|
x
1
-
x
2
|
＜
（
2
a
+
1
）
2
．

22．已知空间几何体ABCDEF，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，EF∥AB，AE=DE，AB=2，EF=1，平面ADE⊥平面ABCD，
BM
=
1
3
BF
，
AN
=
1
2
AD
．
（1）求证：EN⊥BC；
（2）若直线AE与平面ABCD所成角为60°，求直线AM与平面BCF所成角的正弦值．