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2022-2023学年重庆市万州第二高级中学高二（上）第一次月考数学试卷

发布：2025/7/25 10:0:14

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1．已知圆（x+1）²+（y+2）²=4关于直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则
1
a
+
2
b
的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．9 D．
9
2
组卷：305引用：3难度：0.6
2．已知A（-
3
，0），B（
3
，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为（　　）
A．（x-1）²+y²=2 B．（x-1）²+y²=4
C．x²+（y-1）²=2 D．x²+（y-1）²=4
组卷：703引用：5难度：0.7
3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO=1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且
∠
MON
=
π
3
，则二面角P-MN-O的大小为（　　）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
4
D．
π
3
组卷：188引用：1难度：0.6
4．在平面直角坐标系xOy中，若点P（a,b）在直线ax+by+4a+3=0上，则当a,b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（　　）
A．
（
-
∞
，-
3
3
]
∪
[
3
3
，
+
∞
）
B．
[
-
3
3
，
3
3
]
C．
（
-
∞
，-
5
2
]
∪
[
5
2
，
+
∞
）
D．
[
-
5
2
，
5
2
]
组卷：500引用：7难度：0.6
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，E为PB的中点，若直线AE和平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
，则PD=（　　）
A．1 B．
3
2
C．3 D．2
组卷：276引用：3难度：0.6
6．直线
3
x-y+1=0的倾斜角为（　　）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
2
π
3
组卷：701引用：17难度：0.9
7．如果直线y=-
3
3
x+m曲线y=
1
-
x
2
有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（　　）
A．[1，
2
3
3
） B．[
3
3
，
2
3
3
）
C．（-
3
3
，
2
3
3
] D．（-
2
3
3
，
2
3
3
）
组卷：173引用：8难度：0.7
8．若直线y=x+b与曲线
y
=
4
-
x
2
有公共点，则实数b的取值范围为（　　）
A．
[
-
2
，
2
2
]
B．
[
-
2
2
，
2
2
]
C．
（
0
，
2
2
]
D．[-2，2]
组卷：323引用：7难度：0.7

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9．已知正四面体ABCD，下列说法中正确的是（　　）
A．AB与CD垂直
B．直线AD与平面BCD所成角的正弦值为
6
3
C．平面ABD与平面ABC所成角的大小为
π
3
D．若AB=2，则直线AD与直线BC之间的距离为
2
组卷：26引用：2难度：0.5
10．若直线l：ax+y+2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
组卷：26引用：2难度：0.7

11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB=AC=4，点B（-1，3），点C（4，-2），且其“欧拉线”与圆M：（x-3）²+y²=r²相切，则下列结论正确的是（　　）

A．圆M上点到直线x-y+3=0的最小距离为2

B．圆M上点到直线x-y+3=0的最大距离为3

C．若点（x,y）在圆M上，则

的最小值是

D．圆（x-a-1）²+（y-a）²=8与圆M有公共点，则a的取值范围是

[

，

]

组卷：592引用：17难度：0.4

12．已知直角坐标平面xOy内的两点A（8，-6），B（2，2），则（　　）

A．直线AB的一般式方程为4x+3y-14=0

B．线段AB的中垂线所在直线的方程为3x+4y-23=0

C．以向量

为方向向量且过点P（2，-3）的直线l的方程为4x+3y+1=0

D．一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，则反射光线所在的直线方程为4x+5y-2=0

组卷：67引用：4难度：0.7

三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．直线l经过点P（-2，-1）且一个法向量为
n
=
（
6
，
8
）
，则直线l的一般式方程为
．
组卷：90引用：7难度：0.7
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=1，C：（x+1）²+y²=9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l₁，l₂．设直线l₁，l₂的交点为P（m,n），则m的最大值为
．
组卷：22引用：3难度：0.5
15．若一个二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，且点A到平面β的距离为3cm,则点A到棱l的距离为
cm.
组卷：49引用：1难度：0.5
16．已知点P为圆C：（x-1）²+y²=4上任意一点，点Q的坐标为（4a,a+3），则PQ长度的最小值为

．
组卷：33引用：1难度：0.5

四、解答题（共6小题）

17．如图，圆O与直线x+
3
y+2=0相切于点P，与x轴正半轴交于点A，与直线y=
3
x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足
OC
=x
OA
+y
OB
，以x,y为坐标的动点D（x,y）的轨迹记为曲线Γ．
（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；
（2）若两条直线l₁：y=kx和l₂：y=-
1
k
x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．
（3）已知曲线Γ的轨迹为椭圆，研究曲线Γ的对称性，并求椭圆Γ的焦点坐标．
组卷：171引用：1难度：0.1
18．已知圆C经过两点A（2，2），B（3，3），且圆心C在直线x-y+1=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若
OM
•
ON
=
64
5
，求|MN|的值．
组卷：195引用：3难度：0.6
19．已知圆C的方程是（x-1）²+（y-1）²=4，直线l的方程为y=x+m,求当m为何值时．
（1）直线平分圆；
（2）直线与圆相切．
组卷：64引用：3难度：0.7
20．设a,b,c为△ABC的三边，求方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件．
组卷：122引用：3难度：0.7
21．如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
（1）求证：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．
①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值．
②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO与平面BCP所成角为30°？
组卷：131引用：1难度：0.3
22．如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为BS上一点，且BE=2ES．
（1）证明：直线SD∥平面ACE；
（2）求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．
组卷：382引用：5难度：0.3

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A．（x-1）²+y²=2	B．（x-1）²+y²=4
C．x²+（y-1）²=2	D．x²+（y-1）²=4

A．（ - ∞ ，- 3 3 ] ∪ [ 3 3 ， + ∞ ）	B． [ - 3 3 ， 3 3 ]
C．（ - ∞ ，- 5 2 ] ∪ [ 5 2 ， + ∞ ）	D． [ - 5 2 ， 5 2 ]

A．[1， 2 3 3 ）	B．[ 3 3 ， 2 3 3 ）
C．（- 3 3 ， 2 3 3 ]	D．（- 2 3 3 ， 2 3 3 ）

2022-2023学年重庆市万州第二高级中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1．已知圆（x+1）2+（y+2）2=4关于直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则1a+2b的最小值为（ ）

2．已知A（-3，0），B（3，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为（ ）

3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO=1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON=π3，则二面角P-MN-O的大小为（ ）

4．在平面直角坐标系xOy中，若点P（a,b）在直线ax+by+4a+3=0上，则当a,b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ）

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，E为PB的中点，若直线AE和平面ABCD所成角的正弦值为33，则PD=（ ）

6．直线3x-y+1=0的倾斜角为（ ）

7．如果直线y=-33x+m曲线y=1-x2有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（ ）

8．若直线y=x+b与曲线y=4-x2有公共点，则实数b的取值范围为（ ）

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9．已知正四面体ABCD，下列说法中正确的是（ ）

10．若直线l：ax+y+2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（ ）

12．已知直角坐标平面xOy内的两点A（8，-6），B（2，2），则（ ）

三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．直线l经过点P（-2，-1）且一个法向量为n=（6，8），则直线l的一般式方程为 ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，C：（x+1）2+y2=9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l1，l2．设直线l1，l2的交点为P（m,n），则m的最大值为 ．

15．若一个二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，且点A到平面β的距离为3cm,则点A到棱l的距离为 cm.

16．已知点P为圆C：（x-1）2+y2=4上任意一点，点Q的坐标为（4a,a+3），则PQ长度的最小值为 ．

四、解答题（共6小题）

18．已知圆C经过两点A（2，2），B（3，3），且圆心C在直线x-y+1=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+1与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若OM•ON=645，求|MN|的值．

19．已知圆C的方程是（x-1）2+（y-1）2=4，直线l的方程为y=x+m,求当m为何值时．（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切．

20．设a,b,c为△ABC的三边，求方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件．

21．如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．（1）求证：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值．②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO与平面BCP所成角为30°？

22．如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为BS上一点，且BE=2ES．（1）证明：直线SD∥平面ACE；（2）求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．

1．已知圆（x+1）²+（y+2）²=4关于直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则
1
a
+
2
b
的最小值为（　　）

2．已知A（-
3
，0），B（
3
，0），C（0，3），则△ABC外接圆的方程为（　　）

3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO=1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且
∠
MON
=
π
3
，则二面角P-MN-O的大小为（　　）

4．在平面直角坐标系xOy中，若点P（a,b）在直线ax+by+4a+3=0上，则当a,b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（　　）

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，E为PB的中点，若直线AE和平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
，则PD=（　　）

6．直线
3
x-y+1=0的倾斜角为（　　）

7．如果直线y=-
3
3
x+m曲线y=
1
-
x
2
有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（　　）

8．若直线y=x+b与曲线
y
=
4
-
x
2
有公共点，则实数b的取值范围为（　　）

9．已知正四面体ABCD，下列说法中正确的是（　　）

10．若直线l：ax+y+2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（　　）

12．已知直角坐标平面xOy内的两点A（8，-6），B（2，2），则（　　）

13．直线l经过点P（-2，-1）且一个法向量为
n
=
（
6
，
8
）
，则直线l的一般式方程为
．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=1，C：（x+1）²+y²=9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l₁，l₂．设直线l₁，l₂的交点为P（m,n），则m的最大值为
．

15．若一个二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，且点A到平面β的距离为3cm,则点A到棱l的距离为
cm.

16．已知点P为圆C：（x-1）²+y²=4上任意一点，点Q的坐标为（4a,a+3），则PQ长度的最小值为

．

18．已知圆C经过两点A（2，2），B（3，3），且圆心C在直线x-y+1=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若
OM
•
ON
=
64
5
，求|MN|的值．

19．已知圆C的方程是（x-1）²+（y-1）²=4，直线l的方程为y=x+m,求当m为何值时．
（1）直线平分圆；
（2）直线与圆相切．

20．设a,b,c为△ABC的三边，求方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件．

21．如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
（1）求证：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．
①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值．
②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO与平面BCP所成角为30°？

22．如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为BS上一点，且BE=2ES．
（1）证明：直线SD∥平面ACE；
（2）求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．