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2021年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）

发布：2025/7/25 9:0:15

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x²-x-6≤0}，则A∩（∁_UB）等于（　　）
A．（2，3] B．（3，4）
C．[-2，4） D．（-∞，-2）∪（3，4）
组卷：220引用：5难度：0.7
2．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
组卷：26引用：1难度：0.9
3．函数
f
（
x
）
=
x
2
e
x
+
1
，
x
∈
[
-
1
，
3
]
的最小值为（　　）
A．1 B．9e^-4 C．0 D．4e^-3
组卷：39引用：1难度：0.7
4．圆x²+y²-2x+4y+1=0的圆心坐标是（　　）
A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（1，-2）
组卷：359引用：4难度：0.8
5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是
（　　）
A．130 B．325 C．676 D．1300
组卷：51引用：6难度：0.9
6．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y
=±
4
3
x
，则双曲线的离心率为（　　）
A．
5
4
B．
5
3
C．
7
3
D．
7
4
组卷：270引用：9难度：0.8

7．已知函数
f
（
x
）
=
sinxcosx
-
3
co
s
2
x
+
3
2
，则下列说法正确的是（　　）

A．

（

）

sin

（

）

B．函数f（x）的最小正周期为π

C．函数f（x）的对称轴方程为

kπ

（

∈

）

D．函数f（x）的图象可由y=sin2x的图象向右平移

个单位长度得到

组卷：213引用：4难度：0.8

8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于
S
3
的概率是（　　）
A．
2
3
B．
1
3
C．
3
4
D．
1
4
组卷：62引用：7难度：0.5
9．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
组卷：85引用：8难度：0.9
10．已知复数z=
5
2
+
i
，则其共轭复数
z
=（　　）
A．2+i B．2-i C．10+5i D．10-5i
组卷：107引用：2难度：0.8
11．已知α∈（-
π
2
，0），且
2
cos2α=sin（α+
π
4
），则sin2α=（　　）
A．
-
3
4
B．
3
4
C．-1 D．1
组卷：94引用：2难度：0.8
12．系统找不到该试题

二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）

13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、
2
、3，则此球的体积为
．
组卷：338引用：3难度：0.9
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后得到的光线必过抛物线的焦点．已知抛物线y²=16x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M（4，4）射出，经过抛物线上的点A反射后，到达抛物线上的点B，则|AB|=
．
组卷：125引用：3难度：0.5
15．已知数列{a_n}满足
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
n
n
+
1
a
n
（
n
∈
N
，
n
⩾
1
）
，则a_n=
．
组卷：172引用：6难度：0.5
16．若向量
a
=
（
k
,
1
）
，
b
=
（
3
，
4
）
，已知
a
与
b
的夹角为
π
2
，则实数k是
．
组卷：47引用：2难度：0.8

三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a²+b²+c²≥3．
组卷：14引用：2难度：0.5
18．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），观察下列算式：
a₁•a₂=log₂3•log₃4=
lg
3
lg
2
•
lg
4
lg
3
=2；
a₁•a₂•…•a₆=log₂3•log₃4•…•log₇8=
lg
3
lg
2
•
lg
4
lg
3
•…•
lg
8
lg
7
=3，
……
若a₁•a₂•a₃•…•a_m=2021，求m的值．
组卷：3引用：0难度：0.7
19．如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC=90°．
（1）若PC=
3
，求PA长；
（2）若∠APB=30°，求tan∠PBA．
组卷：43引用：2难度：0.7
20．已知函数
f
（
x
）
=
lnx
-
a
x
2
．
（Ⅰ）是否存在实数a使得f（x）在（0，+∞）上有唯一最小值
1
2
，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）已知函数f（x）有两个不同的零点，记f（x）的两个零点是x₁，x₂（x₁＜x₂）．
①求证：x₂-x₁＜（e+1）a+1；
②求证：
2
ln
1
x
1
+
ln
1
x
2
＞
e
2
．
组卷：194引用：5难度：0.4
21．在直角坐标系xOy中，点P的坐标是（0，1），曲线C₁的参数坐标方程
x
=
tcosθ
y
=
1
+
tsinθ
（t为参数，
0
＜
θ
＜
π
2
）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C₂的极坐标方程为
ρ
=
2
1
-
sinθ
，C₁与C₂交于A，B两点．
（1）将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
（2）过点P作垂直于C₁的直线l交C₂于C，D两点，求
1
|
PA
|
•
|
PB
|
+
1
|
PC
|
•
|
PD
|
的值．
组卷：13引用：3难度：0.5

一、选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
组卷：32引用：2难度：0.3

[选修4-5：不等式选讲]

23．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
AO
OA
′
=
BO
OB
′
=
CO
OC
′
=
2
3
．
（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
（2）求
S
△
ABC
S
△
A
′
B
′
C
′
的值．
组卷：134引用：3难度：0.7

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A．（2，3]	B．（3，4）
C．[-2，4）	D．（-∞，-2）∪（3，4）

2021年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2-x-6≤0}，则A∩（∁UB）等于（ ）

3．函数f（x）=x2ex+1，x∈[-1，3]的最小值为（ ）

4．圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心坐标是（ ）

5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（ ）

6．已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±43x，则双曲线的离心率为（ ）

7．已知函数f（x）=sinxcosx-3cos2x+32，则下列说法正确的是（ ）

8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于S3的概率是（ ）

10．已知复数z=52+i，则其共轭复数z=（ ）

11．已知α∈（-π2，0），且2cos2α=sin（α+π4），则sin2α=（ ）

二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）

13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的体积为 ．

15．已知数列{an}满足a1=1，an+1=nn+1an（n∈N，n⩾1），则an=．

16．若向量a=（k,1），b=（3，4），已知a与b的夹角为π2，则实数k是 ．

三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a2+b2+c2≥3．

18．已知an=logn+1（n+2）（n∈N+），观察下列算式：a1•a2=log23•log34=lg3lg2•lg4lg3=2；a1•a2•…•a6=log23•log34•…•log78=lg3lg2•lg4lg3•…•lg8lg7=3，……若a1•a2•a3•…•am=2021，求m的值．

19．如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC=90°．（1）若PC=3，求PA长；（2）若∠APB=30°，求tan∠PBA．

一、选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

[选修4-5：不等式选讲]

23．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOOA′=BOOB′=COOC′=23．（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；（2）求S△ABCS△A′B′C′的值．

1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x²-x-6≤0}，则A∩（∁_UB）等于（　　）

3．函数
f
（
x
）
=
x
2
e
x
+
1
，
x
∈
[
-
1
，
3
]
的最小值为（　　）

4．圆x²+y²-2x+4y+1=0的圆心坐标是（　　）

5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是
（　　）

6．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y
=±
4
3
x
，则双曲线的离心率为（　　）

7．已知函数
f
（
x
）
=
sinxcosx
-
3
co
s
2
x
+
3
2
，则下列说法正确的是（　　）

8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于
S
3
的概率是（　　）

10．已知复数z=
5
2
+
i
，则其共轭复数
z
=（　　）

11．已知α∈（-
π
2
，0），且
2
cos2α=sin（α+
π
4
），则sin2α=（　　）

13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、
2
、3，则此球的体积为
．

15．已知数列{a_n}满足
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
n
n
+
1
a
n
（
n
∈
N
，
n
⩾
1
）
，则a_n=
．

16．若向量
a
=
（
k
,
1
）
，
b
=
（
3
，
4
）
，已知
a
与
b
的夹角为
π
2
，则实数k是
．

17．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a²+b²+c²≥3．

19．如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC=90°．
（1）若PC=
3
，求PA长；
（2）若∠APB=30°，求tan∠PBA．

23．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
AO
OA
′
=
BO
OB
′
=
CO
OC
′
=
2
3
．
（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
（2）求
S
△
ABC
S
△
A
′
B
′
C
′
的值．