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2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高二（上）开学数学试卷

发布：2025/7/25 9:0:15

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（　　）
A．至多有1个白球；都是红球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；都是红球
D．至多有1个白球；至多有1个红球
组卷：141引用：2难度：0.7
2．已知
e
为单位向量，
|
a
|
=
8
，向量
a
，
e
的夹角为
3
π
4
，则
a
在
e
上的投影向量是（　　）
A．
3
2
e
B．
-
4
2
e
C．
-
3
2
e
D．
-
2
3
e
组卷：132引用：5难度：0.9
3．在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（　　）
A．2
2
B．
6
C．
2
D．2
6
组卷：37引用：3难度：0.9
4．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（　　）
A．88分 B．89分 C．90分 D．92分
组卷：147引用：4难度：0.7
5．已知空间向量
a
+
b
+
c
=
0
，|
a
|=2，|
b
|=3，|
c
|=4，则cos＜
a
，
b
＞=（　　）
A．
1
2
B．
1
3
C．-
1
2
D．
1
4
组卷：572引用：11难度：0.7
6．半径为1的半球的表面积为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
组卷：6引用：1难度：0.7
7．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量
OA
外，与向量
OA
共线的向量共有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
组卷：410引用：7难度：0.7
8．欧拉公式e^ix=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A．复数
e
π
2
i
为实数
B．eⁱ对应的点位于第二象限
C．
|
e
ix
-
sinx
+
icosx
|
=
2
D．
|
e
ix
-
3
-
i
|
的最大值为1
组卷：30引用：3难度：0.7

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。

9．正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长为AB=3，则此三棱锥的体积为（　　）
A．
9
3
4
B．
3
3
4
C．
27
3
4
D．
3
3
2
组卷：30引用：1难度：0.6
10．在△ABC中，若sinC+sin（B-A）=sin2A，则△ABC的形状（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
组卷：107引用：4难度：0.6
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是
1
4
，从乙袋中摸出一个红球的概率是
1
2
，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
A．2个球都是红球的概率为
1
8
B．2个球中恰有一个红球的概率为
1
2
C．至少有1个红球的概率为
3
8
D．2个球不都是红球的概率为
7
8
组卷：219引用：4难度：0.7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O₁为△ABC的外接圆．若⊙O₁的面积为4π，AB=BC=AC=OO₁，则球O的体积为
．
组卷：60引用：3难度：0.7
13．已知a,b,c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的长，若bcosA=c,则cosB=

．
组卷：117引用：1难度：0.9
14．一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为
．
组卷：136引用：6难度：0.8

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，
AB
=
7
，
AD
=
3
，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP∥AQ，AQ=2，M，N分别是AQ与CD的中点．
（1）求证：MN∥平面QBC；
（2）求二面角M-CB-Q的余弦值．
组卷：36引用：4难度：0.4
16．如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30°，若截面PAC的面积为4
6
．
（1）求a的值；
（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积．
组卷：19引用：0难度：0.8
17．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取
2
=1.4，
3
=1.7，
6
=2.2）．
组卷：161引用：1难度：0.1
18．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了80个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：

注：尺寸数据在[63.0，64.5）内的零件为合格品，频率作为概率．
（Ⅰ）从产品中随机抽取4件，合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望；
（Ⅱ）从产品中随机抽取N件，全是合格品的概率不小于30%，求N的最大值；
（Ⅲ）为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15件产品，不合格个数的期望是2；若按B方案试验后，抽取25件产品，不合格个数的期望是4，你会选择哪个改进方案？
组卷：97引用：5难度：0.4
19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
组卷：1833引用：14难度：0.6

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2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（ ）

2．已知e为单位向量，|a|=8，向量a，e的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是（ ）

3．在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（ ）

4．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ）

5．已知空间向量a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则cos＜a，b＞=（ ）

6．半径为1的半球的表面积为（ ）

7．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）

8．欧拉公式eix=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）

9．正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长为AB=3，则此三棱锥的体积为（ ）

10．在△ABC中，若sinC+sin（B-A）=sin2A，则△ABC的形状（ ）

11．从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的体积为 ．

13．已知a,b,c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的长，若bcosA=c,则cosB= ．

14．一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为 ．

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，AB=7，AD=3，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP∥AQ，AQ=2，M，N分别是AQ与CD的中点．（1）求证：MN∥平面QBC；（2）求二面角M-CB-Q的余弦值．

16．如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30°，若截面PAC的面积为46．（1）求a的值；（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积．

17．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取2=1.4，3=1.7，6=2.2）．

19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．（1）若c=3a,求cosB的值；（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（　　）

2．已知
e
为单位向量，
|
a
|
=
8
，向量
a
，
e
的夹角为
3
π
4
，则
a
在
e
上的投影向量是（　　）

3．在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（　　）

4．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（　　）

5．已知空间向量
a
+
b
+
c
=
0
，|
a
|=2，|
b
|=3，|
c
|=4，则cos＜
a
，
b
＞=（　　）

6．半径为1的半球的表面积为（　　）

7．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量
OA
外，与向量
OA
共线的向量共有（　　）

8．欧拉公式e^ix=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）

9．正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长为AB=3，则此三棱锥的体积为（　　）

10．在△ABC中，若sinC+sin（B-A）=sin2A，则△ABC的形状（　　）

11．从甲袋中摸出一个红球的概率是
1
4
，从乙袋中摸出一个红球的概率是
1
2
，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）

12．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O₁为△ABC的外接圆．若⊙O₁的面积为4π，AB=BC=AC=OO₁，则球O的体积为
．

13．已知a,b,c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的长，若bcosA=c,则cosB=

．

14．一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为
．

15．如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点P在平面α上，
AB
=
7
，
AD
=
3
，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP∥AQ，AQ=2，M，N分别是AQ与CD的中点．
（1）求证：MN∥平面QBC；
（2）求二面角M-CB-Q的余弦值．

16．如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30°，若截面PAC的面积为4
6
．
（1）求a的值；
（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积．

17．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取
2
=1.4，
3
=1.7，
6
=2.2）．

19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．