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2020-2021学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）

发布：2025/7/25 9:0:14

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正四面体ABCD的棱长为a,点E，F分别是BC，AD的中点，则
AE
•
AF
的值为（　　）
A．a² B．
1
2
a
2
C．
1
4
a
2
D．
3
4
a
2
组卷：345引用：17难度：0.7
2．设
a
=
lo
g
1
3
2
，
b
=
lo
g
1
2
1
3
，
c
=
（
1
2
）
0
.
3
，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
组卷：797引用：34难度：0.9
3．将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体B-ACD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（　　）
A．
1
3
B．
1
5
C．
1
10
D．
1
12
组卷：307引用：3难度：0.5
4．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上的动点，且BN=AM，当三棱锥B₁-MNB的体积最大时，直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值为（　　）
A．
2
3
B．
-
2
3
C．
5
3
D．
-
5
3
组卷：97引用：2难度：0.5
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a^x与y=log_ax的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
组卷：260引用：3难度：0.8
6．复数z满足1+zi+zi²=|1-
3
i|，则z=（　　）
A．1+i B．
1
2
+
1
2
i C．-
1
2
-
1
2
i D．-
1
2
+
1
2
i
组卷：137引用：3难度：0.8
7．已知sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ的终边位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：575引用：4难度：0.9
8．命题“∀x∈R，均有x²+cosx+1＜0”的否定为（　　）
A．∀x∈R，均有x²+cosx+1≥0
B．∃x₀∈R，使得
x
0
2
+
cos
x
0
+
1
＜
0
C．∃x₀∈R，使得
x
0
2
+
cos
x
0
+
1
≥
0
D．∀x∈R，均有x²+cosx+1＞0
组卷：29引用：2难度：0.8
9．设全集U=R，A={x|x+1＜0}，集合B={x|log₂x＜1}，则集合（∁_UA）∩B=（　　）
A．[-1，2] B．（0，2） C．[-1，+∞） D．[-1，1）
组卷：68引用：3难度：0.9
10．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF₁的中点，且BF₁⊥BF₂，则C的离心率为（　　）
A．
3
B．2 C．
3
+
1
D．3
组卷：474引用：8难度：0.5
11．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（　　）
A．
1
10
B．
1
5
C．
3
10
D．
2
5
组卷：240引用：8难度：0.7
12．卢卡斯数列{a_n}满足a₁=2a₂，a_n+2=a_n+1+a_n．且{a_n}的前6项和S₆=28．则a₁₀=（　　）
A．29 B．47 C．76 D．123
组卷：92引用：2难度：0.5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若f（x）=x³+2x,则不等式f（x²-3）+f（1-x）＜0的解集是
．
组卷：56引用：1难度：0.7
14．①函数y=sin2x的单调增区间是
[
3
π
4
+
kπ
，
5
π
4
+
kπ
]
，（k∈Z）；
②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y=|cos2x|的周期是π；
④函数
y
=
sin
（
5
π
2
+
x
）
是偶函数．
其中正确的是
．
组卷：3引用：2难度：0.6
15．已知集合{x|（x-1）（x²-x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为
．
组卷：168引用：4难度：0.9
16．已知数列{a_n}的前n项和
S
n
=
（
a
-
2
）
n
2
+
n
+
a
，n∈N^*．若{a_n}是等差数列，则{a_n}的通项公式为
．
组卷：130引用：5难度：0.5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x
=
2
+
3
2
t
y
=
1
2
t
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ
2
=
6
2
+
si
n
2
θ
．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，求
1
|
MA
|
+
1
|
MB
|
的值．
组卷：40引用：3难度：0.5
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c=2，△ABC的面积为
2
2
，求边长b的值．
组卷：185引用：9难度：0.6
19．下面给出了根据我国2016年-2022年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2016年-2022年的年份代码x分别为1～7）．

（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；
（2）根据散点图相应数据计算得
7
∑
i
=
1
y
i
=
1074
，
7
∑
i
=
1
x
i
y
i
=
4517
，求y关于x的线性回归方程（数据精确到0.01）；
附：回归方程
̂
y
=
̂
b
x
+
̂
a
中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
̂
b
=
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
，
̂
a
=
y
-
̂
b
x
．
组卷：160引用：2难度：0.4
20．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=4．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若E为PD的中点，求三棱锥A-CED的体积．
组卷：62引用：1难度：0.6
21．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-3|，M为不等式f（x）≤4的解集．
（1）求M；
（2）若a,b∈R，且a²+b²∈M，证明：0≤a²-ab+b²≤3．
组卷：28引用：5难度：0.5

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22．已知函数f（x）=ae^x-x²，a∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论函数f′（x）的单调性；
（2）若方程f（x）+f′（x）+x²=1在（0，1）上有实根，求a的取值范围．
组卷：20引用：1难度：0.4

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；
（2）c：a=5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．
组卷：261引用：7难度：0.7

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2020-2021学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正四面体ABCD的棱长为a,点E，F分别是BC，AD的中点，则AE•AF的值为（ ）

2．设a=log132，b=log1213，c=（12）0.3，则（ ）

3．将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体B-ACD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）

4．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BC上的动点，且BN=AM，当三棱锥B1-MNB的体积最大时，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值为（ ）

5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象可能是（ ）

6．复数z满足1+zi+zi2=|1-3i|，则z=（ ）

7．已知sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ的终边位于（ ）

8．命题“∀x∈R，均有x2+cosx+1＜0”的否定为（ ）

9．设全集U=R，A={x|x+1＜0}，集合B={x|log2x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（ ）

10．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C的离心率为（ ）

11．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）

12．卢卡斯数列{an}满足a1=2a2，an+2=an+1+an．且{an}的前6项和S6=28．则a10=（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若f（x）=x3+2x,则不等式f（x2-3）+f（1-x）＜0的解集是 ．

14．①函数y=sin2x的单调增区间是[3π4+kπ，5π4+kπ]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（5π2+x）是偶函数．其中正确的是．

15．已知集合{x|（x-1）（x2-x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为．

16．已知数列{an}的前n项和Sn=（a-2）n2+n+a，n∈N*．若{an}是等差数列，则{an}的通项公式为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若c=2，△ABC的面积为22，求边长b的值．

20．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=4．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）若E为PD的中点，求三棱锥A-CED的体积．

21．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-3|，M为不等式f（x）≤4的解集．（1）求M；（2）若a,b∈R，且a2+b2∈M，证明：0≤a2-ab+b2≤3．

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22．已知函数f（x）=aex-x2，a∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）讨论函数f′（x）的单调性；（2）若方程f（x）+f′（x）+x2=1在（0，1）上有实根，求a的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；（2）c：a=5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．

1．正四面体ABCD的棱长为a,点E，F分别是BC，AD的中点，则
AE
•
AF
的值为（　　）

2．设
a
=
lo
g
1
3
2
，
b
=
lo
g
1
2
1
3
，
c
=
（
1
2
）
0
.
3
，则（　　）

3．将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体B-ACD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（　　）

4．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上的动点，且BN=AM，当三棱锥B₁-MNB的体积最大时，直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值为（　　）

5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a^x与y=log_ax的图象可能是（　　）

6．复数z满足1+zi+zi²=|1-
3
i|，则z=（　　）

7．已知sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ的终边位于（　　）

8．命题“∀x∈R，均有x²+cosx+1＜0”的否定为（　　）

9．设全集U=R，A={x|x+1＜0}，集合B={x|log₂x＜1}，则集合（∁_UA）∩B=（　　）

10．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF₁的中点，且BF₁⊥BF₂，则C的离心率为（　　）

11．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（　　）

12．卢卡斯数列{a_n}满足a₁=2a₂，a_n+2=a_n+1+a_n．且{a_n}的前6项和S₆=28．则a₁₀=（　　）

13．若f（x）=x³+2x,则不等式f（x²-3）+f（1-x）＜0的解集是
．

14．①函数y=sin2x的单调增区间是
[
3
π
4
+
kπ
，
5
π
4
+
kπ
]
，（k∈Z）；
②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y=|cos2x|的周期是π；
④函数
y
=
sin
（
5
π
2
+
x
）
是偶函数．
其中正确的是
．

15．已知集合{x|（x-1）（x²-x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为
．

16．已知数列{a_n}的前n项和
S
n
=
（
a
-
2
）
n
2
+
n
+
a
，n∈N^*．若{a_n}是等差数列，则{a_n}的通项公式为
．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若c=2，△ABC的面积为
2
2
，求边长b的值．

20．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=4．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若E为PD的中点，求三棱锥A-CED的体积．

21．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-3|，M为不等式f（x）≤4的解集．
（1）求M；
（2）若a,b∈R，且a²+b²∈M，证明：0≤a²-ab+b²≤3．

22．已知函数f（x）=ae^x-x²，a∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论函数f′（x）的单调性；
（2）若方程f（x）+f′（x）+x²=1在（0，1）上有实根，求a的取值范围．

23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；
（2）c：a=5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．