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2024年河北省高考数学试卷（新高考Ⅰ）

发布：2025/7/25 8:0:19

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
组卷：276引用：3难度：0.7
2．在△ABC中，A=
π
4
，cosB=
10
10
，则sinC=（　　）
A．-
5
5
B．
5
5
C．-
2
5
5
D．
2
5
5
组卷：357引用：5难度：0.8
3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（-x），且当x≥1时，f（x）=lnx,则（　　）
A．f（-1）＜f（0） B．f（-1）=f（0） C．f（0）=f（2） D．f（0）＜f（2）
组卷：29引用：1难度：0.7
4．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（　　）
A．27：32 B．3：8 C．3
3
：16 D．9：32
组卷：534引用：6难度：0.5
5．设i为虚数单位，则复数
z
=
1
-
（
1
-
i
1
+
i
）
2
i
的虚部为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
组卷：128引用：2难度：0.9
6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．
f
（
x
）
=
3
x
B．y=2^-x C．
y
=
lo
g
1
2
x
D．
y
=
1
x
组卷：508引用：1难度：0.8
7．已知向量
a
=（1，2），
b
=（3，1），若（λ
a
-
b
）⊥
a
，则实数λ=（　　）
A．1 B．
3
5
C．0 D．3
组卷：208引用：3难度：0.8
8．设全集U=R，集合A={x|2^x≤2}，
B
=
{
x
|
x
2
≥
1
4
}
，则（∁_UA）∩B=（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
]
B．
（
-
1
2
，
1
]
C．
（
1
2
，
1
]
D．（1，+∞）
组卷：12引用：2难度：0.9

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9．已知函数f（x）=x³-3lnx-1，则（　　）
A．f（x）的极大值为0
B．曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x轴
C．f（x）的最小值为0
D．f（x）在定义域内单调
组卷：598引用：8难度：0.6
10．已知A（-2，4），B（-4，6）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：142引用：2难度：0.7
11．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均服从正态分布，
X
～
N
（
μ
1
，
σ
2
1
）
，
Y
～
N
（
μ
2
，
σ
2
2
）
，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（　　）
参考数据：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545
A．P（μ₁-2σ₁≤X≤μ₁+σ₁）≈0.8186
B．对于任意的正数t,有P（X≤t）＞P（Y≤t）
C．P（Y≥μ₁）＜P（Y≥μ₂）
D．P（X≤σ₁）＜P（X≤σ₂）
组卷：132引用：4难度：0.6

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为
．
组卷：238引用：12难度：0.7
13．已知a,b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+b）相切，则
4
a
+
1
b
的最小值为
．
组卷：206引用：3难度：0.5
14．双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，则双曲线C的离心率为
．
组卷：56引用：3难度：0.6

四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1.05¹⁰=1.629，1.3¹⁰=13.786，1.5¹⁰=57.665）
组卷：200引用：8难度：0.1
16．已知椭圆
C
1
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一个焦点与抛物线
C
2
：
y
2
=
2
ax
的焦点F重合，两条曲线在第一象限内的交点M满足
|
MF
|
=
5
3
．
（1）求椭圆C₁以及抛物线C₂的标准方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过椭圆的左焦点F₁作PF₁的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．
组卷：180引用：1难度：0.4
17．已知函数f（x）=e^x+e^-x．
（1）当x∈[0，+∞）时，试判断f（x）单调性并加以证明；
（2）若存在x∈[-ln2，ln3]，使得f（2x）-mf（x）+3≥0成立，求实数m的取值范围．（提示：a^2x+a^-2x=（a^x+a^-x）²-2（其中a＞0且a≠1））
组卷：82引用：3难度：0.5
18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．
组卷：353引用：7难度：0.6
19．已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,
acos
C
+
3
asin
C
-
b
-
c
=
0
．
（1）求A；
（2）若
a
=
13
，且△ABC的面积为
3
3
，求△ABC周长．
组卷：339引用：6难度：0.6

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A．充分不必要	B．必要不充分
C．充分必要	D．既不充分也不必要

2024年河北省高考数学试卷（新高考Ⅰ）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的（ ）条件．

2．在△ABC中，A=π4，cosB=1010，则sinC=（ ）

3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（-x），且当x≥1时，f（x）=lnx,则（ ）

4．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（ ）

5．设i为虚数单位，则复数z=1-（1-i1+i）2i的虚部为（ ）

6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

7．已知向量a=（1，2），b=（3，1），若（λa-b）⊥a，则实数λ=（ ）

8．设全集U=R，集合A={x|2x≤2}，B={x|x2≥14}，则（∁UA）∩B=（ ）

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9．已知函数f（x）=x3-3lnx-1，则（ ）

10．已知A（-2，4），B（-4，6）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为（ ）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

13．已知a,b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+b）相切，则4a+1b的最小值为 ．

14．双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S△OMF=4S△MNF，则双曲线C的离心率为 ．

四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数f（x）=ex+e-x．（1）当x∈[0，+∞）时，试判断f（x）单调性并加以证明；（2）若存在x∈[-ln2，ln3]，使得f（2x）-mf（x）+3≥0成立，求实数m的取值范围．（提示：a2x+a-2x=（ax+a-x）2-2（其中a＞0且a≠1））

18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角D-CA1-A的余弦值．

19．已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,acosC+3asinC-b-c=0．（1）求A；（2）若a=13，且△ABC的面积为33，求△ABC周长．

1．“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的（　　）条件．

2．在△ABC中，A=
π
4
，cosB=
10
10
，则sinC=（　　）

3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（-x），且当x≥1时，f（x）=lnx,则（　　）

4．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（　　）

5．设i为虚数单位，则复数
z
=
1
-
（
1
-
i
1
+
i
）
2
i
的虚部为（　　）

6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

7．已知向量
a
=（1，2），
b
=（3，1），若（λ
a
-
b
）⊥
a
，则实数λ=（　　）

8．设全集U=R，集合A={x|2^x≤2}，
B
=
{
x
|
x
2
≥
1
4
}
，则（∁_UA）∩B=（　　）

9．已知函数f（x）=x³-3lnx-1，则（　　）

10．已知A（-2，4），B（-4，6）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为（　　）

13．已知a,b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+b）相切，则
4
a
+
1
b
的最小值为
．

14．双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与以OF为直径的圆交于点M（异于点O），与过F且垂直于x轴的直线交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，则双曲线C的离心率为
．

17．已知函数f（x）=e^x+e^-x．
（1）当x∈[0，+∞）时，试判断f（x）单调性并加以证明；
（2）若存在x∈[-ln2，ln3]，使得f（2x）-mf（x）+3≥0成立，求实数m的取值范围．（提示：a^2x+a^-2x=（a^x+a^-x）²-2（其中a＞0且a≠1））

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．

19．已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,
acos
C
+
3
asin
C
-
b
-
c
=
0
．
（1）求A；
（2）若
a
=
13
，且△ABC的面积为
3
3
，求△ABC周长．