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2024年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）

发布：2025/7/25 8:0:19

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（　　）
A．π+12 B．
5
π
3
+
12
C．π+4 D．
5
π
3
+
4
组卷：33引用：5难度：0.7
2．函数f（x）=x³+x的图象关于（　　）
A．坐标原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y=x对称
组卷：94引用：4难度：0.9
3．对于一切实数x不等式ax²+ax-2≤0恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．（8，0） B．[-8，0] C．（8，0] D．[-8，0）
组卷：75引用：1难度：0.7
4．设函数
g
（
x
）
=
sin
（
ωx
+
π
6
）
在区间（0，π）内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．
（
7
3
，
17
6
]
B．
[
5
3
，
19
6
）
C．
[
5
3
，
13
6
）
D．
（
7
3
，
10
3
]
组卷：236引用：4难度：0.7
5．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则P（B|A）=（　　）
A．
2
3
B．
7
8
C．
8
9
D．
9
10
组卷：143引用：2难度：0.8
6．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（　　）
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
组卷：2引用：5难度：0.9
7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为
16
3
．则半球的表面积为（　　）
A．4π B．8π C．12π D．16π
组卷：47引用：1难度：0.5
8．已知F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若|FA|•|FB|=18，则p=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：714引用：6难度：0.6
9．设F₁，F₂是双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，过F₁作C的一条渐近线的垂线l,垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若
2
F
1
H
=
HP
，且|PF₂|=5，则下列说法正确的是（　　）
A．F₂到直线l的距离为a
B．双曲线的离心率为
13
2
C．△PF₁F₂的外接圆半径为
5
13
2
D．△PF₁F₂的面积为9
组卷：248引用：3难度：0.5
10．若等差数列{a_n}的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（　　）
A．96 B．72 C．60 D．48
组卷：81引用：7难度：0.7
11．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（　　）
A．21 B．19 C．18 D．
37
2
组卷：98引用：1难度：0.8
12．系统找不到该试题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．

13．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则
AM
•
BP
的取值范围为
．
组卷：6引用：0难度：0.6
14．已知（x-2）²+（y-3）²=8，则x+y的取值范围为
．
组卷：36引用：1难度：0.7
15．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1且a_n、a_n+1是函数f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的两个零点，则b₁₀等于

．
组卷：173引用：8难度：0.5
16．若10^m=2，10ⁿ=4，则
10
2
m
-
n
2
=
组卷：0引用：0难度：0.7

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率
2
2
，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．
组卷：133引用：5难度：0.5
18．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a²+b²+c²≥3．
组卷：14引用：2难度：0.5
19．已知函数
f
（
x
）
=
ln
（
2
x
+
a
）
（
a
∈
R
）
．
（1）若函数F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意实数
m
∈
[
3
4
，
1
]
，对任意x₁，x₂∈[m,4m-1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．
组卷：241引用：6难度：0.3
20．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ²=
16
1
+
3
co
s
2
θ
．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M，N，在第一象限内曲线C上任取一点P，求四边形OMPN面积的最大值．
组卷：155引用：4难度：0.5
21．已知
g
（
x
）
=
2
x
+
lnx
-
a
x
．
（1）若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
组卷：48引用：3难度：0.5

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4—4：坐标系与参数方程

22．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），得到如图5的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm的茎为27，叶为1．
（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由）
（Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标准如表：

等级七六五四三二一

长度（mm）小于26.0 [26.0，27.0） [27.0，28.0） [28.0，29.0） [29.0，30.0） [30.0，31.0）不小于31.0

试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；
（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望．

组卷：55引用：2难度：0.7

选修4—5：不等式选讲

23．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．
组卷：353引用：7难度：0.6

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A．坐标原点对称	B．x轴对称
C．y轴对称	D．直线y=x对称

等级	七	六	五	四	三	二	一
长度（mm）	小于26.0	[26.0，27.0）	[27.0，28.0）	[28.0，29.0）	[29.0，30.0）	[30.0，31.0）	不小于31.0

2024年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（ ）

2．函数f（x）=x3+x的图象关于（ ）

3．对于一切实数x不等式ax2+ax-2≤0恒成立，则a的取值范围为（ ）

4．设函数g（x）=sin（ωx+π6）在区间（0，π）内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）

6．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（ ）

7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为163．则半球的表面积为（ ）

8．已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若|FA|•|FB|=18，则p=（ ）

9．设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作C的一条渐近线的垂线l,垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若2F1H=HP，且|PF2|=5，则下列说法正确的是（ ）

10．若等差数列{an}的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ）

11．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．

13．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM•BP的取值范围为 ．

14．已知（x-2）2+（y-3）2=8，则x+y的取值范围为．

15．已知数列{an}，{bn}满足a1=1且an、an+1是函数f（x）=x2-bnx+2n的两个零点，则b10等于 ．

16．若10m=2，10n=4，则102m-n2=

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．

18．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a2+b2+c2≥3．

19．已知函数f（x）=ln（2x+a）（a∈R）．（1）若函数F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意实数m∈[34，1]，对任意x1，x2∈[m,4m-1]，恒有|f（x1）-f（x2）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．

21．已知g（x）=2x+lnx-ax．（1）若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若g（x）在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4—4：坐标系与参数方程

选修4—5：不等式选讲

23．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角D-CA1-A的余弦值．

1．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（　　）

2．函数f（x）=x³+x的图象关于（　　）

3．对于一切实数x不等式ax²+ax-2≤0恒成立，则a的取值范围为（　　）

4．设函数
g
（
x
）
=
sin
（
ωx
+
π
6
）
在区间（0，π）内恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）

6．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（　　）

7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为
16
3
．则半球的表面积为（　　）

8．已知F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若|FA|•|FB|=18，则p=（　　）

9．设F₁，F₂是双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，过F₁作C的一条渐近线的垂线l,垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若
2
F
1
H
=
HP
，且|PF₂|=5，则下列说法正确的是（　　）

10．若等差数列{a_n}的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（　　）

11．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（　　）

13．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则
AM
•
BP
的取值范围为
．

14．已知（x-2）²+（y-3）²=8，则x+y的取值范围为
．

15．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1且a_n、a_n+1是函数f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的两个零点，则b₁₀等于

．

16．若10^m=2，10ⁿ=4，则
10
2
m
-
n
2
=

17．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率
2
2
，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．

18．（1）已知a,b,c,d∈R求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）∀a,b,c＞0，a+b+c=3，求证：a²+b²+c²≥3．

21．已知
g
（
x
）
=
2
x
+
lnx
-
a
x
．
（1）若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．

23．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．