2014年全国高中数学联合竞赛试卷（加试）（A卷）

一、解答题（共4小题，满分180分）

• 1．设x,y,z均为正数，且x+y+z=1，证明：
  （Ⅰ）xy+yz+zx≤

  1

  3

  ；
  （Ⅱ）

  x

  2

  y

  +

  z

  +

  y

  2

  x

  +

  z

  +

  z

  2

  x

  +

  y

  ≥

  1

  2

  ．
  组卷：70引用：3难度：0.5

  解析

• 2．若4x-y能被3整除，则4x²+7xy-2y²能被9整除．
  组卷：33引用：1难度：0.5

  解析

• 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
  （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
  （2）若⊙O的半径R=5，tanA=

  3

  4

  ，求线段CD的长．
  组卷：16引用：1难度：0.3

  解析

• 4．在①A={x|x²-3x+2=0}，②A={x|2x²-3x-2=0}这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．设集合_____，集合B={x|x²+2（a+1）x+a²-5=0}．
  （1）若集合B的子集有2个，求实数a的值；
  （2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
  组卷：39引用：5难度：0.7

  解析