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2020-2021学年广州四中高一（下）月考数学试卷（6月份）

发布：2025/7/25 8:0:18

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知一组数据从小到大为4，5，6，8，m,13，18，30，若这组数据的80%分位数是中位数的两倍，则m=（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
组卷：241引用：6难度：0.7
2．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形（如图①）开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形（如图②），所得六角形共有12条边．再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段．反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线．已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上（内部以及边界）．若
OP
=
x
OA
+
y
OB
，则x+y的取值范围是（　　）
A．[-3，3] B．[-4，4] C．[-5，5] D．[-6，6]
组卷：232引用：1难度：0.5
3．在△ABC中，a=2
3
，b=2
2
，B=
π
4
，则A等于（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
3
或
2
π
3
D．
π
6
或
5
π
6
组卷：454引用：21难度：0.9
4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosB-bcosA=b,则
b
a
+
c
的取值范围是（　　）
A．
（
3
3
，
2
2
）
B．
（
2
-
3
，
1
）
C．
（
2
-
3
，
2
-
1
）
D．
（
2
+
1
，
3
+
2
）
组卷：295引用：5难度：0.5
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率（　　）
A．
1
4
B．
3
8
C．
5
12
D．
5
8
组卷：252引用：23难度：0.8
6．中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“术曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高h,那么圆锥的体积公式是
V
=
1
12
π
C
2
h
，若一圆锥的轴截面是边长为
2
2
的等边三角形，据依所给公式计算其体积为（　　）
A．
2
3
3
π
B．
2
3
π
C．
2
6
3
π
D．
2
6
π
组卷：69引用：2难度：0.6
7．已知复数
z
=
3
-
4
i
2
-
i
，则
z
的虚部是（　　）
A．-i B．-1 C．i D．1
组卷：129引用：4难度：0.8
8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，
∠
ACB
=
π
2
，
AB
=
2
2
，CC₁=4，P是线段A₁B₁上的动点，则当线段CP最短时，异面直线AC₁与BP所成角的余弦值为（　　）
A．
7
10
30
B．
10
6
C．
7
10
25
D．
5
3
组卷：106引用：4难度：0.6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是（　　）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．α内的任何一条直线都与β平行
C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
D．a⊥α，b⊥β，a∥b
组卷：22引用：2难度：0.6

10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

A．

tan

•

cos

•

sin

（

）

的符号为正

B．函数

cosx

•

tanx

的定义域为

[

kπ

，

kπ

）

∪

（

kπ

，

kπ

]

，

∈

C．若θ∈（0，π），

sinθ

cosθ

，则

tanθ

或

D．

cos

（

）

sin

（

）

•

sin

（

）

•

cos

（

）

组卷：28引用：1难度：0.8

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）

A．已知

，

均为非零向量，则

∥

⇔存在唯一的实数λ，使得

B．若向量

与

共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

C．若

•

且

≠

，则

D．若点G为△ABC的重心，则

组卷：72引用：5难度：0.9

12．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．i+i²+i³+i⁴=0
B．复数z=3-i的模长为
10
C．若z=（1+2i）²，则复平面内
z
对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
组卷：42引用：3难度：0.6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为
海里每小时．
组卷：37引用：2难度：0.6
14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发信号0时，接收为1的概率为0.1；发送信号1时，接收为1的概率为0.95，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为0的概率为
．
组卷：19引用：3难度：0.7
15．已知a为实数，若数据1，2，a,6的平均数为3，则这组数据的标准差为
．
组卷：46引用：2难度：0.7
16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足
BA
=
BC
=
AC
=
3
，PA⊥平面ABC，PA=2，则其外接球的半径为
．
组卷：45引用：3难度：0.5

四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=1，cos²A-cos²B+cos²C=1．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若
AB
•
AC
＜
1
2
，求
1
a
+
1
c
的取值范围．
组卷：78引用：3难度：0.5
18．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求三棱锥C-SBD的体积；
（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．
组卷：18引用：1难度：0.4
19．跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：
高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94；
高三（2）班：137，126，116，108；
高三（3）班：163，134，112，103；
高三（4）班：158，132，130，127，110，106．
假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立．
（Ⅰ）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；
（Ⅱ）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
组卷：364引用：1难度：0.5
20．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和
5
2
，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
组卷：899引用：13难度：0.5
21．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c,且
cos
C
cos
B
=
3
a
-
c
b
．
（1）求sinB的值；
（2）若b=4
2
，且a=c,求边AC上的高．
组卷：499引用：2难度：0.9
22．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，
（1）求证：BC⊥侧面PAB；
（2）求证：侧面PAD⊥侧面PAB．
组卷：237引用：1难度：0.5

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2020-2021学年广州四中高一（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知一组数据从小到大为4，5，6，8，m,13，18，30，若这组数据的80%分位数是中位数的两倍，则m=（ ）

3．在△ABC中，a=23，b=22，B=π4，则A等于（ ）

4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosB-bcosA=b,则ba+c的取值范围是（ ）

7．已知复数z=3-4i2-i，则z的虚部是（ ）

8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=π2，AB=22，CC1=4，P是线段A1B1上的动点，则当线段CP最短时，异面直线AC1与BP所成角的余弦值为（ ）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是（ ）

10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

12．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 海里每小时．

15．已知a为实数，若数据1，2，a,6的平均数为3，则这组数据的标准差为 ．

16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BA=BC=AC=3，PA⊥平面ABC，PA=2，则其外接球的半径为 ．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=1，cos2A-cos2B+cos2C=1．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若AB•AC＜12，求1a+1c的取值范围．

18．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求三棱锥C-SBD的体积；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．

21．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c,且cosCcosB=3a-cb．（1）求sinB的值；（2）若b=42，且a=c,求边AC上的高．

22．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，（1）求证：BC⊥侧面PAB；（2）求证：侧面PAD⊥侧面PAB．

1．已知一组数据从小到大为4，5，6，8，m,13，18，30，若这组数据的80%分位数是中位数的两倍，则m=（　　）

3．在△ABC中，a=2
3
，b=2
2
，B=
π
4
，则A等于（　　）

4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知acosB-bcosA=b,则
b
a
+
c
的取值范围是（　　）

7．已知复数
z
=
3
-
4
i
2
-
i
，则
z
的虚部是（　　）

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，
∠
ACB
=
π
2
，
AB
=
2
2
，CC₁=4，P是线段A₁B₁上的动点，则当线段CP最短时，异面直线AC₁与BP所成角的余弦值为（　　）

9．下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是（　　）

10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）

12．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）

13．已知一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为
海里每小时．

15．已知a为实数，若数据1，2，a,6的平均数为3，则这组数据的标准差为
．

16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足
BA
=
BC
=
AC
=
3
，PA⊥平面ABC，PA=2，则其外接球的半径为
．

17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=1，cos²A-cos²B+cos²C=1．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若
AB
•
AC
＜
1
2
，求
1
a
+
1
c
的取值范围．

18．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求三棱锥C-SBD的体积；
（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．

21．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c,且
cos
C
cos
B
=
3
a
-
c
b
．
（1）求sinB的值；
（2）若b=4
2
，且a=c,求边AC上的高．

22．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，
（1）求证：BC⊥侧面PAB；
（2）求证：侧面PAD⊥侧面PAB．