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2024-2025学年湖南省怀化市城南职业学校高二（上）期中数学试卷

发布：2025/7/25 9:0:17

一、选择题（每题3分，共30分）

1．已知向量
a
=（1，
3
），
b
=（
3
+1，
3
-1），则
a
与
b
的夹角为（　　）
A．
π
4
B．
π
3
C．
π
2
D．
3
π
4
组卷：33引用：1难度：0.9
2．已知向量
a
=
（
m
,
1
）
，
b
=
（
2
，-
3
）
，若
（
2
a
-
b
）
⊥
b
，则m=（　　）
A．
-
19
4
B．
19
4
C．
-
2
3
D．
2
3
组卷：7引用：1难度：0.5
3．已知|
a
-
b
|=|
a
+
b
|，则
a
与
b
的关系是（　　）
A．
a
⊥
b
B．
a
∥
b
C．
a
与
b
的夹角为60° D．不确定
组卷：20引用：1难度：0.8
4．如图，正方形ABCD的边长为1，则
|
AB
+
BC
+
CD
+
DA
+
AC
+
BD
|
=（　　）
A．0 B．
2
C．2 D．
2
2
组卷：45引用：3难度：0.8
5．“-2＜x＜4”是“x²-x-6=0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：20引用：3难度：0.9
6．已知抛物线x²=2py（p＞0）的形状与
y
=
1
4
x
2
-
3
x
+
1
的形状完全一致，若x²=2py（p＞0）上的一点Q到焦点的距离为3，则Q点的坐标是（　　）
A．（±2，1） B．（1，±2） C．
（
±
2
2
，
2
）
D．
（
2
，
±
2
2
）
组卷：24引用：2难度：0.8
7．命题P：三角形面积相等；Q：三角形全等，则P是Q 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：4引用：3难度：0.9
8．如果
a
，
b
是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　）
A．
a
=
b
B．
a
，
b
的方向相同
C．
a
+
b
=
2
D．
|
a
|
=
|
b
|
组卷：30引用：1难度：0.9
9．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）
A．
3
B．
2
C．
2
3
3
D．2
组卷：8引用：2难度：0.5
10．双曲线
x
2
9
-
y
2
4
=1与直线y=-
2
3
x+m（m∈R）的公共点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
组卷：12引用：1难度：0.5

二、填空题（每题4分，共20分）

11．双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=
1
上一点P到左焦点的距离为7，则P到右焦点的距离为

．
组卷：21引用：1难度：0.8
12．
AB
-
AC
=

．
组卷：23引用：3难度：0.8
13．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的渐近线方程为y=±
2
x,则该双曲线的离心率为

.
组卷：25引用：3难度：0.9
14．p：x＞2，q：x＜1，p是q的

条件．
组卷：40引用：1难度：0.8
15．已知
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
＜
a
，
b
＞
=
120
°
，则
（
2
a
+
b
）
•
b
=

.
组卷：8引用：1难度：0.7
16．若抛物线x²=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为

。
组卷：15引用：1难度：0.8

二、解答题（每题10分共50分）

17．已知圆锥曲线的离心率为e,请写出对应的图形。（椭圆、抛物线、双曲线）
（1）若0＜e＜1，则该圆锥曲线是什么图形？
（2）若e=1，则该圆锥曲线是什么图形？
（3）若e＞1，则该圆锥曲线是什么图形？
组卷：9引用：2难度：0.9
18．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线：
（1）4x²+y²=4；
（2）x²-5y²=5。
组卷：14引用：1难度：0.7
19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
组卷：17引用：1难度：0.9
20．已知A（1，1），B（5，3），C（0，3），求证：△ABC为直角三角形。（用两种方法证明）
组卷：7引用：1难度：0.8

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A． a ⊥ b	B． a ∥ b
C． a 与 b 的夹角为60°	D．不确定

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

A． a = b	B． a ， b 的方向相同
C． a + b = 2	D． \| a \| = \| b \|

2024-2025学年湖南省怀化市城南职业学校高二（上）期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．已知向量a=（1，3），b=（3+1，3-1），则a与b的夹角为（ ）

2．已知向量a=（m,1），b=（2，-3），若（2a-b）⊥b，则m=（ ）

3．已知|a-b|=|a+b|，则a与b的关系是（ ）

4．如图，正方形ABCD的边长为1，则|AB+BC+CD+DA+AC+BD|=（ ）

5．“-2＜x＜4”是“x2-x-6=0”的（ ）

6．已知抛物线x2=2py（p＞0）的形状与y=14x2-3x+1的形状完全一致，若x2=2py（p＞0）上的一点Q到焦点的距离为3，则Q点的坐标是（ ）

7．命题P：三角形面积相等；Q：三角形全等，则P是Q 的（ ）

8．如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）

9．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）

10．双曲线x29-y24=1与直线y=-23x+m（m∈R）的公共点的个数为（ ）

二、填空题（每题4分，共20分）

11．双曲线x29-y216=1上一点P到左焦点的距离为7，则P到右焦点的距离为 ．

12．AB-AC= ．

13．已知双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的离心率为 .

14．p：x＞2，q：x＜1，p是q的 条件．

15．已知|a|=1，|b|=2，＜a，b＞=120°，则（2a+b）•b= .

16．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为 。

二、解答题（每题10分共50分）

17．已知圆锥曲线的离心率为e,请写出对应的图形。（椭圆、抛物线、双曲线）（1）若0＜e＜1，则该圆锥曲线是什么图形？（2）若e=1，则该圆锥曲线是什么图形？（3）若e＞1，则该圆锥曲线是什么图形？

18．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线：（1）4x2+y2=4；（2）x2-5y2=5。

19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．

20．已知A（1，1），B（5，3），C（0，3），求证：△ABC为直角三角形。（用两种方法证明）

1．已知向量
a
=（1，
3
），
b
=（
3
+1，
3
-1），则
a
与
b
的夹角为（　　）

2．已知向量
a
=
（
m
,
1
）
，
b
=
（
2
，-
3
）
，若
（
2
a
-
b
）
⊥
b
，则m=（　　）

3．已知|
a
-
b
|=|
a
+
b
|，则
a
与
b
的关系是（　　）

4．如图，正方形ABCD的边长为1，则
|
AB
+
BC
+
CD
+
DA
+
AC
+
BD
|
=（　　）

5．“-2＜x＜4”是“x²-x-6=0”的（　　）

6．已知抛物线x²=2py（p＞0）的形状与
y
=
1
4
x
2
-
3
x
+
1
的形状完全一致，若x²=2py（p＞0）上的一点Q到焦点的距离为3，则Q点的坐标是（　　）

7．命题P：三角形面积相等；Q：三角形全等，则P是Q 的（　　）

8．如果
a
，
b
是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　）

9．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

10．双曲线
x
2
9
-
y
2
4
=1与直线y=-
2
3
x+m（m∈R）的公共点的个数为（　　）

11．双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=
1
上一点P到左焦点的距离为7，则P到右焦点的距离为

．

12．
AB
-
AC
=

．

13．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的渐近线方程为y=±
2
x,则该双曲线的离心率为

.

14．p：x＞2，q：x＜1，p是q的

条件．

15．已知
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
＜
a
，
b
＞
=
120
°
，则
（
2
a
+
b
）
•
b
=

.

16．若抛物线x²=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为

。

17．已知圆锥曲线的离心率为e,请写出对应的图形。（椭圆、抛物线、双曲线）
（1）若0＜e＜1，则该圆锥曲线是什么图形？
（2）若e=1，则该圆锥曲线是什么图形？
（3）若e＞1，则该圆锥曲线是什么图形？

18．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线：
（1）4x²+y²=4；
（2）x²-5y²=5。

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．