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2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一（下）期末数学试卷

发布：2025/7/18 22:0:18

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．如图，已知正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面BCC₁B₁内运动（包含边界），且AP与平面BCC₁B₁所成角的正切值为
6
，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（　　）
A．
4
π
3
B．
5
π
3
C．
7
π
3
D．
2
π
3
组卷：157引用：4难度：0.5
2．已知
AB
=
（
4
，
2
）
，
AC
=
（
1
，
4
）
，则
AB
•
BC
=（　　）
A．-8 B．-16 C．8 D．16
组卷：37引用：3难度：0.7
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（　　）
A．
11
6
B．
13
6
C．
11
3
D．
13
3
组卷：284引用：6难度：0.4
4．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（　　）
A．1.63 B．1.67 C．1.64 D．1.65
组卷：90引用：1难度：0.9
5．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（　　）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
组卷：139引用：3难度：0.7
6．关于复数的运算，错误的是（　　）
A．
1
r
（
cosθ
+
isinθ
）
=
1
r
（
-
cosθ
-
isinθ
）
B．
|
z
1
z
2
|
=
|
z
1
|
|
z
2
|
C．
|
z
1
+
z
2
|
2
+
|
z
1
-
z
2
|
2
=
2
|
z
1
|
2
+
2
|
z
2
|
2
D．
（
z
1
z
2
）
=
z
1
z
2
组卷：217引用：1难度：0.5
7．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（　　）
A．
2
2
B．
3
2
C．
3
2
D．
3
4
组卷：228引用：2难度：0.8
8．抛掷两枚均匀的硬币，出现两枚正面朝上的概率等于（　　）
A．
1
8
B．
1
4
C．
3
8
D．
1
2
组卷：18引用：4难度：0.7

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（　　）

A．若z₁、z₂互为共轭复数，则z₁z₂为实数

B．若i为虚数单位，n为正整数，则i⁴ⁿ⁺³=i

C．若1+i是关于x的方程ax²+bx+2=0（a,b∈R）的一个根，则a+b=-1

D．在▱ABCD中，点A、B、C分别对应复数2+i,4+3i,3+5i,则点D对应复数为5-3i

组卷：21引用：2难度：0.7

10．已知
a
=
（
cosα
，
sinα
）
，
b
=
（
cosβ
，
sinβ
）
，则正确的选项是（　　）
A．
a
和
b
都是单位向量 B．若α=β，则
a
∥
b
C．若
a
⊥
b
，则
α
=
β
+
π
2
D．
（
a
+
b
）
⊥
（
a
-
b
）
组卷：66引用：5难度：0.8
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若acosB+bcosA=2a,则
sin
C
sin
A
=
2
C．若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
D．若
tan
A
=
1
2
tan
B
=
1
3
tan
C
，则
A
=
π
4
组卷：12引用：0难度：0.6

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．

12．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为
h.
组卷：372引用：23难度：0.7
13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为
．
组卷：81引用：3难度：0.7
14．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为
．
组卷：100引用：4难度：0.7

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知函数
f
（
x
）
=
ln
（
2
x
+
a
）
（
a
∈
R
）
．
（1）若函数F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意实数
m
∈
[
3
4
，
1
]
，对任意x₁，x₂∈[m,4m-1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．
组卷：220引用：5难度：0.3
16．如图，在△ABC中，AD=
1
4
AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设
AB
=
a
，
AC
=
b
．
（1）用
a
，
b
表示
CD
，
EF
；
（Ⅱ）如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．
组卷：225引用：5难度：0.7
17．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲（年龄23），乙（年龄43）两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
组卷：60引用：3难度：0.7
18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
组卷：1760引用：14难度：0.6
19．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.6，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.4，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元，假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
（1）求甲最后没有得奖的概率；
（2）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．
组卷：40引用：1难度：0.7

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A． a 和 b 都是单位向量	B．若α=β，则 a ∥ b
C．若 a ⊥ b ，则 α = β + π 2	D．（ a + b ） ⊥ （ a - b ）

2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为6，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）

2．已知AB=（4，2），AC=（1，4），则AB•BC=（ ）

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ）

4．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（ ）

5．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）

6．关于复数的运算，错误的是（ ）

7．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）

8．抛掷两枚均匀的硬币，出现两枚正面朝上的概率等于（ ）

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（ ）

10．已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则正确的选项是（ ）

11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（ ）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为 ．

14．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为 ．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知函数f（x）=ln（2x+a）（a∈R）．（1）若函数F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意实数m∈[34，1]，对任意x1，x2∈[m,4m-1]，恒有|f（x1）-f（x2）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．

16．如图，在△ABC中，AD=14AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设AB=a，AC=b．（1）用a，b表示CD，EF；（Ⅱ）如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．（1）若c=3a,求cosB的值；（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．

1．如图，已知正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面BCC₁B₁内运动（包含边界），且AP与平面BCC₁B₁所成角的正切值为
6
，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（　　）

2．已知
AB
=
（
4
，
2
）
，
AC
=
（
1
，
4
）
，则
AB
•
BC
=（　　）

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（　　）

4．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（　　）

5．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（　　）

6．关于复数的运算，错误的是（　　）

7．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（　　）

8．抛掷两枚均匀的硬币，出现两枚正面朝上的概率等于（　　）

9．下列说法正确的是（　　）

10．已知
a
=
（
cosα
，
sinα
）
，
b
=
（
cosβ
，
sinβ
）
，则正确的选项是（　　）

11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）

13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为
．

14．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为
．

16．如图，在△ABC中，AD=
1
4
AB，点E，F分别是AC，BC的中点．设
AB
=
a
，
AC
=
b
．
（1）用
a
，
b
表示
CD
，
EF
；
（Ⅱ）如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．