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2023-2024学年江苏省扬州市邗江高中发展共同体高三（上）联考数学试卷（10月份）

发布：2025/7/16 3:0:19

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
e
1
，
e
2
是夹角为60°的两个单位向量，则向量
e
1
+
e
2
在向量
e
1
上的投影向量的模为（　　）
A．
3
2
B．2 C．
2
3
D．4
组卷：108引用：3难度：0.8
2．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
x
-
π
4
）
，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．
g
（
x
）
=
2
sin
（
x
2
-
π
4
）
+
1
B．g（x）在
（
0
，
π
2
）
上单调递增
C．g（x）的图象关于点
（
π
8
，
0
）
中心对称
D．g（x）在
[
π
4
，
π
2
]
上的值域为
[
2
+
1
，
3
]
组卷：343引用：2难度：0.7
3．已知复数z满足2z+i•z=5，则复数z的虚部为（　　）
A．-1 B．2 C．2i D．-i
组卷：34引用：2难度：0.8
4．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（　　）
A．
（
1
6
，
5
6
）
B．
（
1
3
，
2
3
）
C．
（
1
2
，
2
3
）
D．
（
1
6
，
1
2
）
组卷：1028引用：11难度：0.5
5．已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂=
9
4
，a₄+a₅=18，则其前5项的积为（　　）
A．64 B．81 C．192 D．243
组卷：242引用：3难度：0.7
6．22²²除以5的余数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：348引用：5难度：0.8
7．已知函数
f
（
x
）
=
ax
e
x
+
lnx
-
x
有唯一的极值点t,则f（t）的取值范围是（　　）
A．[-2，+∞） B．[-3，+∞） C．[2，+∞） D．[3，+∞）
组卷：503引用：17难度：0.6
8．已知集合A={x|x≤3，x∈N}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）
A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
组卷：34引用：1难度：0.9

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．函数
f
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
3
，则下列结论正确的有（　　）
A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）是偶函数
C．y=|f（x）|是偶函数 D．y=f（x）•sinx是奇函数
组卷：117引用：1难度：0.8
10．已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P（4，4），直线l：x=my+1交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（　　）
A．|FA|≥1
B．存在实数m,使得
∠
AOB
＜
π
2
C．若
AF
=
2
FB
，则
m
=±
2
4
D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则m=-2
组卷：464引用：10难度：0.5

11．下列命题是真命题的是（　　）

A．已知直线l垂直于平面α，向量

平行于直线l,则

是平面α的法向量

B．若向量

，

为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行

C．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行

D．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直

组卷：16引用：2难度：0.7

12．已知随机变量的分布列为P（X=k）=0.2，k=1，2，3，4，5．若Y=2X-3，下列说法正确的是（　　）
A．随机变量X的均值为3 B．随机变量Y的均值为3
C．随机变量X的方差为2 D．随机变量Y的方差为9
组卷：111引用：6难度：0.6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有
种．
组卷：42引用：2难度：0.7
14．化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=
．
组卷：37引用：4难度：0.9
15．已知椭圆
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F₁，A，M三点共线．若|AB|=a,
|
B
F
1
|
|
M
F
1
|
=
5
7
，则
|
B
F
2
|
|
A
F
1
|
=
．
组卷：82引用：1难度：0.7
16．在直角坐标系xOy中，直线
y
=
-
1
2
x
+
2
与圆C：x²+y²-2x-4y+a=0（a∈R）相交于A，B两点，且∠AOB=
π
2
，则a=
．
组卷：3引用：0难度：0.6

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．
组卷：63引用：6难度：0.1
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2sin²B+sinAsinC=2sin²A+2sin²C．
（1）求cos2B；
（2）若a=c,△ABC的面积为
15
2
，求△ABC的周长．
组卷：50引用：1难度：0.5
19．记S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₁=3，S_n=
n
+
2
3
a
n
．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明：
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
＜
2
3
．
组卷：126引用：4难度：0.5

20．近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注．某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如表2×2列联表．已知了解的人数为280，不了解的人数为120．

男家长女家长合计

了解 160

不了解 80

合计

（1）请补充完整如表的2×2列联表，并分别估计该校男、女家长中对“ChatGPT”了解的概率；
（2）判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系．
附：
K
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，其中n=a+b+c+d.

P（K²≥k） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

组卷：10引用：2难度：0.6

21．已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
5
2
，右顶点A到C的一条渐近线的距离为
2
5
5
．
（1）求C的方程；
（2）D，E是y轴上两点，以DE为直径的圆M过点B（-3，0），若直线DA与C的另一个交点为P，直线EA与C的另一个交点为Q，试判断直线PQ与圆M的位置关系，并说明理由．
组卷：171引用：6难度：0.2
22．已知函数f（x）=xe^x-1，g（x）=a（lnx+x）．
（1）若a=2，证明：g（x）≤4x-2；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求正实数a的值；
（3）证明：x²e^x＞（x+2）lnx+2sinx.
组卷：58引用：3难度：0.3

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A．y=f（x）是奇函数	B．y=f（x）是偶函数
C．y=\|f（x）\|是偶函数	D．y=f（x）•sinx是奇函数

A．随机变量X的均值为3	B．随机变量Y的均值为3
C．随机变量X的方差为2	D．随机变量Y的方差为9

2023-2024学年江苏省扬州市邗江高中发展共同体高三（上）联考数学试卷（10月份）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1+e2在向量e1上的投影向量的模为（ ）

2．已知函数f（x）=sin（x-π4），将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）

3．已知复数z满足2z+i•z=5，则复数z的虚部为（ ）

4．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）

5．已知等比数列{an}中，a1+a2=94，a4+a5=18，则其前5项的积为（ ）

6．2222除以5的余数是（ ）

7．已知函数f（x）=axex+lnx-x有唯一的极值点t,则f（t）的取值范围是（ ）

8．已知集合A={x|x≤3，x∈N}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．函数f（x）=ex-e-x3，则下列结论正确的有（ ）

10．已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P（4，4），直线l：x=my+1交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）

11．下列命题是真命题的是（ ）

12．已知随机变量的分布列为P（X=k）=0.2，k=1，2，3，4，5．若Y=2X-3，下列说法正确的是（ ）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有 种．

14．化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=．

15．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线．若|AB|=a,|BF1||MF1|=57，则|BF2||AF1|=．

16．在直角坐标系xOy中，直线y=-12x+2与圆C：x2+y2-2x-4y+a=0（a∈R）相交于A，B两点，且∠AOB=π2，则a=．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求二面角E-AB-C的正弦值．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2sin2B+sinAsinC=2sin2A+2sin2C．（1）求cos2B；（2）若a=c,△ABC的面积为152，求△ABC的周长．

19．记Sn为数列{an}的前n项和，满足a1=3，Sn=n+23an．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1a1+1a2+⋯+1an＜23．

22．已知函数f（x）=xex-1，g（x）=a（lnx+x）．（1）若a=2，证明：g（x）≤4x-2；（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求正实数a的值；（3）证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx.

1．已知
e
1
，
e
2
是夹角为60°的两个单位向量，则向量
e
1
+
e
2
在向量
e
1
上的投影向量的模为（　　）

2．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
x
-
π
4
）
，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）

3．已知复数z满足2z+i•z=5，则复数z的虚部为（　　）

4．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（　　）

5．已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂=
9
4
，a₄+a₅=18，则其前5项的积为（　　）

6．22²²除以5的余数是（　　）

7．已知函数
f
（
x
）
=
ax
e
x
+
lnx
-
x
有唯一的极值点t,则f（t）的取值范围是（　　）

8．已知集合A={x|x≤3，x∈N}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）

9．函数
f
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
3
，则下列结论正确的有（　　）

10．已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P（4，4），直线l：x=my+1交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（　　）

11．下列命题是真命题的是（　　）

12．已知随机变量的分布列为P（X=k）=0.2，k=1，2，3，4，5．若Y=2X-3，下列说法正确的是（　　）

13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有
种．

14．化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=
．

16．在直角坐标系xOy中，直线
y
=
-
1
2
x
+
2
与圆C：x²+y²-2x-4y+a=0（a∈R）相交于A，B两点，且∠AOB=
π
2
，则a=
．

17．如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2sin²B+sinAsinC=2sin²A+2sin²C．
（1）求cos2B；
（2）若a=c,△ABC的面积为
15
2
，求△ABC的周长．

19．记S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₁=3，S_n=
n
+
2
3
a
n
．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明：
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
＜
2
3
．

22．已知函数f（x）=xe^x-1，g（x）=a（lnx+x）．
（1）若a=2，证明：g（x）≤4x-2；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求正实数a的值；
（3）证明：x²e^x＞（x+2）lnx+2sinx.