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2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）第二次大联考数学试卷（12月份）

发布：2025/7/11 5:0:16

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知a=log_0.20.3，b=log_0.60.35，c=4^0.2，则（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
组卷：235引用：2难度：0.7
2．若（1+i）²z=1-i,则z在复平面内对应的点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：5引用：3难度：0.7
3．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若
AC
•
BC
=
-
1
，则
sin
（
α
+
π
4
）
的值为（　　）
A．
2
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
1
2
组卷：292引用：14难度：0.9
4．若
（
x
+
2
3
x
）
n
展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
组卷：72引用：2难度：0.8
5．已知集合A={x∈Z|-2≤x≤2}，B={x|log₂（x+1）≤1}，则A∩B=（　　）
A．（-1，1] B．[-2，1] C．{0，1} D．{-2，-1，0，1}
组卷：12引用：2难度：0.8
6．已知单位向量
a
，
b
满足
a
•
b
=
0
，若向量
c
=
a
+
3
b
，则
cos
〈
b
，
c
〉
=（　　）
A．
3
2
B．
1
2
C．
3
4
D．
1
4
组卷：85引用：1难度：0.7
7．函数
f
（
x
）
=
x
2
e
x
-
e
-
x
的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
组卷：62引用：2难度：0.8
8．若当
x
∈
（
0
，
π
2
）
时，关于x的不等式e^x-xcosx+cosxlncosx+ax²≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：116引用：4难度：0.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面．则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（　　）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
组卷：44引用：1难度：0.6

10．下列四个选项中，化简正确的是（　　）

A．cos（-15°）=

B．cos15°cos105°+sin 15°sin105°=0

C．cos（α-35°）cos（25°+α）+sin（α-35°）sin（25°+α）=cos[（α-35°）-（25°+α）]=-

D．sin14°cos16°+sin76°cos74°=

组卷：104引用：2难度：0.7

11．已知向量
a
=（-2，1），
b
=（-1，2），
c
=（0，-2），则（　　）
A．
a
∥（
a
-
b
） B．|
a
+
c
|=|
b
|
C．（
a
-
b
）⊥
a
D．
a
-
b
与
c
的夹角为
π
4
组卷：33引用：1难度：0.8
12．已知正数a,b满足a+b=4，ab的最大值为t,不等式x²+3x-t＜0的解集为M，则（　　）
A．t=2 B．t=4 C．M={x|-4＜x＜1} D．M={x|-1＜x＜4}
组卷：270引用：9难度：0.7

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在等差数列{a_n}中，a₃=4，a₅=m,a₇=16，则m=
．
组卷：199引用：2难度：0.8
14．已知f（x）=2x²-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是
．
组卷：1149引用：6难度：0.6
15．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A是双曲线右支上的一点，若直线AF₂与直线
y
=
-
b
a
x
平行且△AF₁F₂的周长为9a,则双曲线的离心率为
．
组卷：144引用：4难度：0.8
16．四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有
种．
组卷：81引用：3难度：0.7

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=
10
，侧面PAB的面积为
10
．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）点M在棱PC上，当三棱锥P-ADM的体积为
4
3
时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．
组卷：150引用：3难度：0.5
18．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
过点M（2，0），且它的右焦点为F（1，0），过点F作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．已知点P（4，3），设直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若k=-1，求k₁k₂；
（3）当k变化时，试探索k₁+k₂是否为常值？如果是，求出该常值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．
组卷：17引用：1难度：0.4
19．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为
2
3
，
3
4
．求：
（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；
（2）目标被击中的概率．
组卷：93引用：2难度：0.7
20．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a,b,c,已知
sin
A
-
sin
B
sin
C
=
a
-
c
a
+
b
．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围．
组卷：1080引用：18难度：0.6
21．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，T_n=
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
n
b
n
+
1
，求T_n．
组卷：855引用：5难度：0.8
22．已知函数f（x）=lnx-x.
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+a,若x₁，x₂∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，
①求a的取值范围；
②求证：x₁x₂＜1．
组卷：213引用：2难度：0.2

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A． a ∥（ a - b ）	B．\| a + c \|=\| b \|
C．（ a - b ）⊥ a	D． a - b 与 c 的夹角为 π 4

A．	B．
C．	D．

2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）第二次大联考数学试卷（12月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知a=log0.20.3，b=log0.60.35，c=40.2，则（ ）

2．若（1+i）2z=1-i,则z在复平面内对应的点所在象限为（ ）

3．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若AC•BC=-1，则sin（α+π4）的值为（ ）

4．若（x+23x）n展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（ ）

5．已知集合A={x∈Z|-2≤x≤2}，B={x|log2（x+1）≤1}，则A∩B=（ ）

6．已知单位向量a，b满足a•b=0，若向量c=a+3b，则cos〈b，c〉=（ ）

7．函数f（x）=x2ex-e-x的图象大致为（ ）

8．若当x∈（0，π2）时，关于x的不等式ex-xcosx+cosxlncosx+ax2≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

10．下列四个选项中，化简正确的是（ ）

11．已知向量a=（-2，1），b=（-1，2），c=（0，-2），则（ ）

12．已知正数a,b满足a+b=4，ab的最大值为t,不等式x2+3x-t＜0的解集为M，则（ ）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在等差数列{an}中，a3=4，a5=m,a7=16，则m=．

14．已知f（x）=2x2-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．

15．已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是双曲线右支上的一点，若直线AF2与直线y=-bax平行且△AF1F2的周长为9a,则双曲线的离心率为．

16．四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=10，侧面PAB的面积为10．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）点M在棱PC上，当三棱锥P-ADM的体积为43时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．

19．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为23，34．求：（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；（2）目标被击中的概率．

20．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a,b,c,已知sinA-sinBsinC=a-ca+b．（1）求角B的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围．

21．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=log2an，Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1，求Tn．

22．已知函数f（x）=lnx-x.（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+a,若x1，x2∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，①求a的取值范围；②求证：x1x2＜1．

1．已知a=log_0.20.3，b=log_0.60.35，c=4^0.2，则（　　）

2．若（1+i）²z=1-i,则z在复平面内对应的点所在象限为（　　）

3．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若
AC
•
BC
=
-
1
，则
sin
（
α
+
π
4
）
的值为（　　）

4．若
（
x
+
2
3
x
）
n
展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（　　）

5．已知集合A={x∈Z|-2≤x≤2}，B={x|log₂（x+1）≤1}，则A∩B=（　　）

6．已知单位向量
a
，
b
满足
a
•
b
=
0
，若向量
c
=
a
+
3
b
，则
cos
〈
b
，
c
〉
=（　　）

7．函数
f
（
x
）
=
x
2
e
x
-
e
-
x
的图象大致为（　　）

8．若当
x
∈
（
0
，
π
2
）
时，关于x的不等式e^x-xcosx+cosxlncosx+ax²≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为（　　）

10．下列四个选项中，化简正确的是（　　）

11．已知向量
a
=（-2，1），
b
=（-1，2），
c
=（0，-2），则（　　）

12．已知正数a,b满足a+b=4，ab的最大值为t,不等式x²+3x-t＜0的解集为M，则（　　）

13．在等差数列{a_n}中，a₃=4，a₅=m,a₇=16，则m=
．

14．已知f（x）=2x²-ax+lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是
．

15．已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A是双曲线右支上的一点，若直线AF₂与直线
y
=
-
b
a
x
平行且△AF₁F₂的周长为9a,则双曲线的离心率为
．

16．四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有
种．

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=
10
，侧面PAB的面积为
10
．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）点M在棱PC上，当三棱锥P-ADM的体积为
4
3
时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．

19．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为
2
3
，
3
4
．求：
（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；
（2）目标被击中的概率．

20．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a,b,c,已知
sin
A
-
sin
B
sin
C
=
a
-
c
a
+
b
．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围．

21．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，T_n=
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
n
b
n
+
1
，求T_n．

22．已知函数f（x）=lnx-x.
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+a,若x₁，x₂∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，
①求a的取值范围；
②求证：x₁x₂＜1．