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2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷

发布：2025/7/10 8:0:19

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果椭圆
x
2
k
+
8
+
y
2
9
=
1
（
k
＞
-
8
）
的离心率为e=
1
2
，则k=（　　）
A．4 B．4或
-
5
4
C．-
4
5
D．4或
-
4
5
组卷：562引用：6难度：0.7
2．若
{
a
，
b
，
c
}
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．
a
-
b
，
2
a
+
b
-
c
，
3
a
-
c
B．
a
-
b
，
2
a
+
b
-
c
，
a
+
5
b
-
3
c
C．
a
-
b
，
a
+
b
-
c
，
2
b
-
c
D．
a
-
b
，
a
+
b
-
c
，
5
a
+
b
-
3
c
组卷：103引用：3难度：0.5
3．直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂是关于k的方程2k²-3k-b=0的两根，若l₁⊥l₂，则b=（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
组卷：24引用：2难度：0.7
4．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 （a＞b＞0）有两个顶点在直线x
+
4
3
y=4上，则此椭圆的焦点坐标是（　　）
A．（±5，0） B．（0，±5） C．（±
7
，0） D．（0，±
7
）
组卷：21引用：1难度：0.9
5．直线y=x-b与曲线
x
=
4
-
y
2
有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（　　）
A．
{
-
2
2
，
2
2
}
B．
（
-
2
，
2
]
∪
{
2
2
}
C．
[
-
2
，
2
2
）
∪
{
2
2
}
D．
[
-
2
，
2
）
∪
{
2
2
}
组卷：302引用：8难度：0.5
6．已知直线l：y=x+1，点A（a,0）与点B关于原点对称，若直线l上存在点P满足∠APB=90°，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
2
2
，
+
∞
）
B．
（
-
∞
，-
2
2
]
∪
[
2
2
，
+
∞
）
C．
[
2
2
，
+
∞
）
D．[1，+∞）
组卷：289引用：4难度：0.6
7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A-BC-D的平面角最大时，其正切值为（　　）
A．
3
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
1
4
组卷：1157引用：4难度：0.3
8．已知方程
x
2
10
-
t
+
y
2
t
-
4
=
1
表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围是（　　）
A．（4，7） B．（4，7）∪（7，10）
C．（7，10） D．（4，10）
组卷：432引用：6难度：0.8

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左右两焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q，则下列结论正确的是（　　）
A．若PF₁⊥x轴，则|PF₂|=
3
2
B．四边形PF₁QF₂周长为8
C．点P到点F₂最小距离为1
D．至少存在一点P使∠F₁PF₂=90°
组卷：44引用：2难度：0.6
10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2，CA=CB=4，E为AB中点，下列结论正确的是（　　）
A．面PEC⊥面ABC
B．二面角P-AB-C的平面角是∠PEC
C．三棱锥P-ABC的体积
V
P
-
ABC
=
1
3
AB
•
S
△
PEC
（其中S_△PEC为△PEC的面积）
D．若三棱锥存在外接球，则球心可能为点E
组卷：113引用：1难度：0.5
11．已知直线l：x-y+5=0，过直线上任意一点M作圆C：（x-3）²+y²=4的两条切线，切点分别为A，B，则有（　　）
A．|MA|长度的最小值为
4
2
-
2
B．不存在点M使得∠AMB为60°
C．当|MC|•|AB|最小时，直线AB的方程为x-2y-1=0
D．若圆C与x轴交点为P，Q，则
MP
•
MQ
的最小值为28
组卷：319引用：3难度：0.5
12．已知椭圆
C
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左、右两个焦点分别为F₁，F₂，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（　　）
A．△PF₁F₂的最大面积为
2
3
B．若直线PA，PB的斜率为k₁，k₂，则
k
1
•
k
2
=
-
3
4
C．存在点P使得
P
F
1
•
P
F
2
=
0
D．|PM|+|PF₁|的最大值为5
组卷：124引用：5难度：0.5

三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.

13．圆x²+y²+4x=0与圆x²+y²+4y=0的公共弦长为
．
组卷：188引用：4难度：0.6
14．已知椭圆C：
x
2
4
+
y
2
=1，F₁，F₂是其两个焦点，P为C上任意一点，则
P
F
1
•
P
F
2
的最大值为
．
组卷：155引用：2难度：0.6
15．设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是
组卷：88引用：3难度：0.8
16．已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，直线l：y=-x+4，则圆C上的点到直线l的距离最小值为
．
组卷：90引用：1难度：0.7

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
组卷：1763引用：55难度：0.5
18．如图，椭圆
x
2
4
+
y
2
=
1
的左右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，F₁，F₂的圆与y轴正半轴交于点A（0，y₁），经过点B（3，0）且与x轴垂直的直线l与直线AP交于点Q．
（1）求证：y₀y₁=1；
（2）试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线MP，MQ的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
组卷：108引用：3难度：0.5
19．已知圆M：x²+（y-4）²=4，P是直线l：x-2y=0上的动点，过点P作圆M的一条切线PA，A为切点．
（1）当
|
PA
|
=
2
3
时，求点P的坐标；
（2）设△PAM的外接圆为圆N，当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
组卷：158引用：2难度：0.6
20．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（其中a＞b＞0）的上顶点与抛物线x²=4y的焦点重合，且椭圆C的四个顶点所围成的菱形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点T（3，0）的直线l与C相交于A、B两点，试问曲线C上是否存在一点Q，使得
OA
+
OB
=
6
OQ
，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
组卷：44引用：1难度：0.6
21．解不等式组．
x
-
1
≥
1
2
x
-
（
x
-
1
）
≤
5
．
组卷：10引用：1难度：0.5
22．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
A
A
1
=
c

（1）用基底
{
a

，

b

，
c
}
表示向量
BM
；
（2）求向量
A
C
1
的长度．
组卷：836引用：13难度：0.6

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A． a - b ， 2 a + b - c ， 3 a - c	B． a - b ， 2 a + b - c ， a + 5 b - 3 c
C． a - b ， a + b - c ， 2 b - c	D． a - b ， a + b - c ， 5 a + b - 3 c

A．（ 2 2 ， + ∞ ）	B．（ - ∞ ，- 2 2 ] ∪ [ 2 2 ， + ∞ ）
C． [ 2 2 ， + ∞ ）	D．[1，+∞）

A．（4，7）	B．（4，7）∪（7，10）
C．（7，10）	D．（4，10）

2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果椭圆x2k+8+y29=1（k＞-8）的离心率为e=12，则k=（ ）

2．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）

3．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=（ ）

4．已知椭圆x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）有两个顶点在直线x+43y=4上，则此椭圆的焦点坐标是（ ）

5．直线y=x-b与曲线x=4-y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（ ）

6．已知直线l：y=x+1，点A（a,0）与点B关于原点对称，若直线l上存在点P满足∠APB=90°，则实数a的取值范围为（ ）

7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A-BC-D的平面角最大时，其正切值为（ ）

8．已知方程x210-t+y2t-4=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围是（ ）

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．椭圆x24+y23=1的左右两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q，则下列结论正确的是（ ）

10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2，CA=CB=4，E为AB中点，下列结论正确的是（ ）

11．已知直线l：x-y+5=0，过直线上任意一点M作圆C：（x-3）2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）

12．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右两个焦点分别为F1，F2，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（ ）

三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.

13．圆x2+y2+4x=0与圆x2+y2+4y=0的公共弦长为 ．

14．已知椭圆C：x24+y2=1，F1，F2是其两个焦点，P为C上任意一点，则PF1•PF2的最大值为．

15．设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是

16．已知圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，直线l：y=-x+4，则圆C上的点到直线l的距离最小值为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

21．解不等式组．x-1≥12x-（x-1）≤5．

22．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．若AB=a，AD=b，AA1=c（1）用基底{a ， b ，c}表示向量BM；（2）求向量AC1的长度．

1．如果椭圆
x
2
k
+
8
+
y
2
9
=
1
（
k
＞
-
8
）
的离心率为e=
1
2
，则k=（　　）

2．若
{
a
，
b
，
c
}
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）

3．直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂是关于k的方程2k²-3k-b=0的两根，若l₁⊥l₂，则b=（　　）

4．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 （a＞b＞0）有两个顶点在直线x
+
4
3
y=4上，则此椭圆的焦点坐标是（　　）

5．直线y=x-b与曲线
x
=
4
-
y
2
有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（　　）

6．已知直线l：y=x+1，点A（a,0）与点B关于原点对称，若直线l上存在点P满足∠APB=90°，则实数a的取值范围为（　　）

7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A-BC-D的平面角最大时，其正切值为（　　）

8．已知方程
x
2
10
-
t
+
y
2
t
-
4
=
1
表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围是（　　）

9．椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左右两焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q，则下列结论正确的是（　　）

10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2，CA=CB=4，E为AB中点，下列结论正确的是（　　）

11．已知直线l：x-y+5=0，过直线上任意一点M作圆C：（x-3）²+y²=4的两条切线，切点分别为A，B，则有（　　）

12．已知椭圆
C
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左、右两个焦点分别为F₁，F₂，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，M（1，1），则下列结论正确的有（　　）

13．圆x²+y²+4x=0与圆x²+y²+4y=0的公共弦长为
．

14．已知椭圆C：
x
2
4
+
y
2
=1，F₁，F₂是其两个焦点，P为C上任意一点，则
P
F
1
•
P
F
2
的最大值为
．

16．已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，直线l：y=-x+4，则圆C上的点到直线l的距离最小值为
．

17．已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

21．解不等式组．
x
-
1
≥
1
2
x
-
（
x
-
1
）
≤
5
．

22．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
A
A
1
=
c

（1）用基底
{
a

，

b

，
c
}
表示向量
BM
；
（2）求向量
A
C
1
的长度．