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2023-2024学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷

发布：2025/7/9 5:0:15

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．样本中共有5个个体，其值分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅．若该样本的平均数为3，则3x₁+1，3x₂+1，3x₃+1，3x₄+1，3x₅+1的平均数为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．10
组卷：98引用：3难度：0.8
2．设i是虚数单位，则复数i²
-
2
1
+
i
的模为（　　）
A．
5
B．2
2
C．2
3
D．2
5
组卷：80引用：1难度：0.8
3．已知函数f（x）=sin（ωx+
π
4
）（ω＞0）在（0，
π
2
）有且仅有一个零点，则ω的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
组卷：381引用：1难度：0.5
4．已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式为（　　）
A．
f
（
x
）
=
x
2
e
x
+
e
-
x
B．
f
（
x
）
=
e
x
+
e
-
x
x
2
C．
f
（
x
）
=
x
2
e
x
-
e
-
x
D．
f
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
x
2
组卷：116引用：7难度：0.7

5．下列命题正确的是（　　）

A．“∃x∈R，x²-x+1=0”的否定为假命题

B．若“∀x∈R，ax²+4x+1＞0”为真命题，则a≤4

C．若m（x）=min{2-x²，x}，则m（x）的最大值是1，无最小值

D．a+b=0的必要不充分条件是

组卷：20引用：2难度：0.5

6．双曲线E：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的一条渐近线与圆C：（x-3）²+y²=4相交于A，B，若△ABC的面积为2，则双曲线E的离心率为（　　）
A．
3
5
5
B．
7
5
5
C．
3
7
7
D．
11
7
7
组卷：102引用：3难度：0.6
7．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）
A．
32
π
3
B．32π C．
64
π
3
D．64π
组卷：54引用：2难度：0.6
8．下列命题：①向量
a
与
b
都是单位向量，则
a
=
b
；
②在△ABC中，必有
AB
+
BC
+
CA
=
0
；
③四边形ABCD是平行四边形，则
AB
=
DC
；
④若向量
a
与
b
共线，则存在唯一的实数λ使
b
=
λ
a
．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
组卷：184引用：2难度：0.7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．下列叙述中正确的是（　　）
A．若1≤a≤5，-1≤b≤2，则-1≤a-2b≤7
B．若
lo
g
3
x
=
1
2
，则
x
=
3
C．函数y=4^x+2^x+1的值域为（1，+∞）
D．已知a,b∈R，则“
b
a
＜
a
b
”是“a＜b＜0”的充分不必要条件
组卷：71引用：2难度：0.7
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
x
2
3
-
y
2
6
=
1
的右焦点为F，过F且倾斜角为
π
6
的直线l分别交C的左、右两支于点A，B，直线AO交C于另一点D，连结OB，BD，DF，则（　　）
A．DF⊥OF B．|AF|=5|BF| C．∠DOF=2∠BOF D．∠ADB≠∠FDB
组卷：22引用：0难度：0.6
11．已知f'（x）为函数f（x）的导函数，当x＞0时，有f（x）-xf'（x）＞0恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．f（
1
2
）＞2f（
1
4
） B．f（
1
2
）＜2f（
1
4
）
C．f（
1
2
）＞2f（1） D．2f（
1
2
）＞f（1）
组卷：269引用：14难度：0.6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a,当a∈[1，2020]时，符合条件的a共有
个．
组卷：21引用：1难度：0.6
13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0，1]上，其解析式如下：R（x）=
1
p
，
x
=
q
p
（
p
,
q
都是正整数
，
q
p
是既约真分数
）
0
，
x
=
0
，
1
或
[
0
，
1
]
上的无理数
，若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（2+x）+f（2-x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=R（x），则
f
（
2022
）
+
f
（
-
2022
5
）
=
．
组卷：63引用：3难度：0.6
14．已知tan（x+
π
4
）=2，则tanx的值为
．
组卷：257引用：14难度：0.8

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．已知集合A_n={（x₁，x₂，⋯，x_n）|x_i∈{-1，1}（i=1，2，⋯，n）}．
x,y∈A_n，x=（x₁，x₂，⋯，x_n），y=（y₁，y₂，⋯，y_n），其中x₁，y_i∈{-1，1}（i=1，2，⋯，n）．
定义x⊙y=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n，若x⊙y=0，则称x与y正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A₄中与x正交的所有元素；
（Ⅱ）令B={x⊙y|x,y∈A_n}，若m∈B，证明：m+n为偶数；
（Ⅲ）若A⊆A_n，且A中任意两个元素均正交，当n=14时，A中最多可以有多少个元素．
组卷：69引用：6难度：0.2
16．在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答．
（Ⅰ）不放回的抽取试题，求恰好在第三次抽到判断题的概率；
（Ⅱ）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ的概率分布及ξ的期望．
组卷：19引用：2难度：0.3
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sinBsinC．
（Ⅰ）若c=2b,求角A；
（Ⅱ）证明：（i）A=2B；（ii）cosA+cosB+cosC＞1．
组卷：72引用：1难度：0.5
18．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n（n∈N^*）次得到的数列的所有项之和记为a_n．
（1）求a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．
组卷：51引用：1难度：0.5
19．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点M（1，
2
2
），N（
2
，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x²+y²=
1
2
相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为
2
3
，求直线l的方程．
组卷：279引用：3难度：0.6

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A． f （ x ） = x 2 e x + e - x	B． f （ x ） = e x + e - x x 2
C． f （ x ） = x 2 e x - e - x	D． f （ x ） = e x - e - x x 2

A．f（ 1 2 ）＞2f（ 1 4 ）	B．f（ 1 2 ）＜2f（ 1 4 ）
C．f（ 1 2 ）＞2f（1）	D．2f（ 1 2 ）＞f（1）

2023-2024学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．样本中共有5个个体，其值分别为x1，x2，x3，x4，x5．若该样本的平均数为3，则3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的平均数为（ ）

2．设i是虚数单位，则复数i2-21+i的模为（ ）

3．已知函数f（x）=sin（ωx+π4）（ω＞0）在（0，π2）有且仅有一个零点，则ω的值可以是（ ）

4．已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）

5．下列命题正确的是（ ）

6．双曲线E：x2a2-y2b2=1的一条渐近线与圆C：（x-3）2+y2=4相交于A，B，若△ABC的面积为2，则双曲线E的离心率为（ ）

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

8．下列命题：①向量a与b都是单位向量，则a=b；②在△ABC中，必有AB+BC+CA=0；③四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC；④若向量a与b共线，则存在唯一的实数λ使b=λa．其中正确的是（ ）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．下列叙述中正确的是（ ）

10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x23-y26=1的右焦点为F，过F且倾斜角为π6的直线l分别交C的左、右两支于点A，B，直线AO交C于另一点D，连结OB，BD，DF，则（ ）

11．已知f'（x）为函数f（x）的导函数，当x＞0时，有f（x）-xf'（x）＞0恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

14．已知tan（x+π4）=2，则tanx的值为．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sinBsinC．（Ⅰ）若c=2b,求角A；（Ⅱ）证明：（i）A=2B；（ii）cosA+cosB+cosC＞1．

19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，22），N（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x2+y2=12相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为23，求直线l的方程．

1．样本中共有5个个体，其值分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅．若该样本的平均数为3，则3x₁+1，3x₂+1，3x₃+1，3x₄+1，3x₅+1的平均数为（　　）

2．设i是虚数单位，则复数i²
-
2
1
+
i
的模为（　　）

3．已知函数f（x）=sin（ωx+
π
4
）（ω＞0）在（0，
π
2
）有且仅有一个零点，则ω的值可以是（　　）

4．已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式为（　　）

5．下列命题正确的是（　　）

6．双曲线E：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的一条渐近线与圆C：（x-3）²+y²=4相交于A，B，若△ABC的面积为2，则双曲线E的离心率为（　　）

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）

8．下列命题：①向量
a
与
b
都是单位向量，则
a
=
b
；
②在△ABC中，必有
AB
+
BC
+
CA
=
0
；
③四边形ABCD是平行四边形，则
AB
=
DC
；
④若向量
a
与
b
共线，则存在唯一的实数λ使
b
=
λ
a
．
其中正确的是（　　）

9．下列叙述中正确的是（　　）

10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
x
2
3
-
y
2
6
=
1
的右焦点为F，过F且倾斜角为
π
6
的直线l分别交C的左、右两支于点A，B，直线AO交C于另一点D，连结OB，BD，DF，则（　　）

11．已知f'（x）为函数f（x）的导函数，当x＞0时，有f（x）-xf'（x）＞0恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）

14．已知tan（x+
π
4
）=2，则tanx的值为
．

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sinBsinC．
（Ⅰ）若c=2b,求角A；
（Ⅱ）证明：（i）A=2B；（ii）cosA+cosB+cosC＞1．

19．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点M（1，
2
2
），N（
2
，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x²+y²=
1
2
相切，与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为
2
3
，求直线l的方程．