如图1，在平面直角坐标系中，O点是坐标原点，抛物线y=ax2+bx+a（a≠0）与y轴交于点C且CO=13，抛物线顶点D的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，P是抛物线上的点且在对称轴左侧，点P的横坐标为t,过点P作PA⊥x轴于点A，点B在抛物线的对称轴上且在x轴上方，DA=DB，直线PB交x轴于点K，若点K的横坐标为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，直线PB与抛物线的另一个交点E在第一象限，过点E作x轴的平行线交抛物线于点F，交抛物线的对称轴于点H，连接DF交直线PB于点G，连接HG，当∠HGE=2∠GED时，求点P坐标．
1
3
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1），
（2），
（3）．
y
=
1
3
x
2
+
2
3
x
+
1
3
（2）
S
=
2
t
-
1
t
+
4
（3）
P
（
-
5
2
，
3
4
）
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/12 5:0:1组卷：81引用：2难度：0.2
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）交x轴于点A（-1，0），点B（3，0），交y轴于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作PM⊥BC交BC于点M，求PM的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，把抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）沿着射线CB方向平移，平移后的抛物线恰好经过（3，0），点E是新抛物线与x轴的另一个交点，点F是新抛物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一动点，点G是平面内一动点，直接写出所有使得以点E、F、Q、G为顶点的四边形是菱形的点G的坐标．
发布：2025/6/14 18:30:4组卷：392引用：1难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=
x2-x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，-3）．14
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是对称轴上的点，且△ADQ为直角三角形，求点Q的坐标．
发布：2025/6/14 18:30:4组卷：782引用：5难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B的纵坐标是-3，点D的横坐标是，则S▱OBCD=；52
（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．发布：2025/6/14 21:0:1组卷：840引用：3难度：0.3
