有同学在研究指数函数y=2^x和幂函数y=x²的图像时，发现它们在第一象限有两个交点（2，4）和（4，16）．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．
（1）函数y=e^x与函数y=x^e的图像在第一象限有且只有一个公共点；
（2）设a＞1，b＞1，且a≠b,若a^b=b^a，则ab＞e²，其中e为自然对数的底．

【答案】（1）详见解答过程；
（2）详见解答过程．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：30引用：1难度：0.3

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1．已知函数f（x）=x³-2kx²+x-3在R上不单调，则k的取值范围是
；
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：237引用：3难度：0.8
解析
2．在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（-∞，-1）∪（0，1） B．（-2，-1）∪（1，2）
C．（-1，0）∪（1，+∞） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：265引用：7难度：0.9
解析
3．已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），证明：
x
1
•
x
2
＞
e
2
．
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：144引用：2难度：0.2
解析

A．（-∞，-1）∪（0，1）	B．（-2，-1）∪（1，2）
C．（-1，0）∪（1，+∞）	D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

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