嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线．于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图（杯体厚度忽略不计）如图（1）．点P是抛物线的顶点，CD=OP=8cm.点O是CD的中点，且OP⊥CD，AB=12cm,杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为20cm.嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm），并提出了以下问题，你也来一起解决吧！
（1）求杯体APB所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向左平移3cm,并倒满饮料，杯体APB与y轴交于点M，如图（2），过点A放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点M，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b,求k的取值范围；
（3）将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点D顺时针旋转30°，液面恰好到达点B处（BQ∥l），如图（3）．
①请你以CD的中点O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，并求出BQ与y轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/2 8:0:9组卷：598引用：4难度：0.1
相似题
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1．已知二次函数y=x2+（2m-2）x+m2-2m-3（m是常数），如果二次函数的图象经过原点，
（1）求m的值；
（2）若m＜0，二次函数图象与x轴的另外一个交点为A，抛物线上是否存在点B，使得OB⊥BA，如果存在，请求出点B坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若m＜0，点P（a,p）是一次函数y=x-4的图象上的一点，点Q（a,q）在二次函数y=x2+（2m-2）x+m2-2m-3图象上，当1≤a≤5时，求线段PQ的最大值．
发布：2025/5/25 13:0:1组卷：83引用：2难度：0.3 -
2．抛物线y1=x2+（1-m）x+c与直线l：y2=kx+b分别交于点A（-3，0）和点B（m,n），当-3≤x≤1时，y1≤y2．
（1）求c和n的值（用含m的式子表示）；
（2）过点P（-2，0）作x轴的垂线，分别交抛物线和直线l于M，N两点，则△BMN的面积是否存在最大值或最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；
（3）直线x=m-交抛物线于点C，过点C作x轴的平行线交直线l于点D，交抛物线另一点于E，连接BE，求∠DBE的度数．12发布：2025/5/25 13:0:1组卷：218引用：1难度：0.2 -
3．已知抛物线 C：y=x2-2mx+2m+1．
（1）若抛物线C经过原点，则m的值为 ，此时抛物线C的顶点坐标为 ．
（2）无论m为何值，抛物线C恒过一定点A，点A的坐标为 ．
（3）用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并说明无论m为何值，抛物线C的顶点都在同一条抛物线C'上．
（4）设抛物线C的顶点为B，当点B不与点A重合时，过点A作AE∥x轴，与抛物线C的另一交点为E，过点B作BD∥x轴，与抛物线C'的另一交点为D．
①求证：四边形AEBD是平行四边形；
②当▱AEBD是菱形时，求m的值．发布：2025/5/25 13:0:1组卷：109引用：1难度：0.4
