在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y=-x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y=-x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y=-x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y=-x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形，理由见解析；
（3）T（，0）或（，0）；
（4）平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．
（2）△BCQ是直角三角形，理由见解析；
（3）T（
1
+
2
5
3
3
+
3
5
4
（4）平移后的抛物线的顶点为P′（
5
8
27
8
5
2
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1636引用：3难度：0.3
相似题
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1．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x1-x2=y1-y2=m（m＞0），则称此函数为关于m的“P函数”，这两点叫做一对关于m的“C点”．
（1）下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“C点”的，请在相应题目后面横线上打“√”，不存在的打“×”；
①y=x-2 ；②y=-x+1 ；③y=x2；
（2）若双曲线为关于4的“P函数”，求n的取值范围；y=nx
（3）关于x的函数D：y=kx+n是关于t的“P函数”，且当0＜x＜4时，函数D与抛物线y=-x2+4nx-n的图象有两个不同的交点，求n的取值范围．发布：2025/5/24 19:0:1组卷：471引用：1难度：0.2 -
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
（1）m=，画出二次函数的图象；x … -1 0 1 3 … y … 0 3 m 0 ……
（2）若点P（t,0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交于点A，顶点为B．求|PA-PB|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值范围．发布：2025/5/24 19:0:1组卷：53引用：1难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax+a-5与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P（n,c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b,求n的取值范围；
（3）连接BC，若M（xM，yM）是y轴左侧抛物线上的一点，N为x轴上一动点，当MN∥BC，且MN＞BC时，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．发布：2025/5/24 19:0:1组卷：109引用：3难度：0.3
