定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点（1，2）、（-2.5，-5）……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图象上有两个“青竹点”：（0，0）和（2，4）．
（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y=2x-1 ××；②y=-x2+1 √√；③y=x2+2 ××．
（2）若抛物线y=-12x2-m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
（3）若函数y=14x2+（b-c+2）x+a+c-3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当-1≤b≤2时，a的最小值为c,求c的值．
y
=
-
1
2
x
2
-
m
+
1
y
=
1
4
x
2
+
（
b
-
c
+
2
）
x
+
a
+
c
-
3
【考点】二次函数综合题．
【答案】×；√；×
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：742引用：3难度：0.2
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1．如图，抛物线y=ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=S△ABC时，求点P的坐标；35
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 13:0:1组卷：853引用：8难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y=x-5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 13:0:1组卷：552引用：3难度：0.2 -
3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（-1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．S△APQS△AOQ发布：2025/5/24 12:30:1组卷：3236引用：7难度：0.1
