如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 77；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
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【考点】几何变换综合题．
【答案】
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 8:0:2组卷：2338引用：3难度：0.5
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1．【问题提出】
（1）如图①，在矩形ABCD中，点P、Q分别在线段AD、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD，连接BP、EQ、PQ交BE于点O，则四边形PBQE的形状是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=3，点P、Q分别在线段AB、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，，求PQ的长；AE=5
【问题解决】
（3）如图③，有一块矩形空地ABCD，AB=60m,BC=80m,点P是一个休息站且在线段AB上，AP=40m,点Q在线段BC上，现要在点B关于PQ对称的点E处修建口水井，并且修建水渠AE和CE，以便于在四边形空地AECD上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地AECD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 13:0:1组卷：154引用：1难度：0.2 -
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．
（1）求证：BE⊥AB；
（2）用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；
（3）若CF=，CD=32，求tan∠BCE的值．5发布：2025/5/25 15:0:2组卷：399引用：2难度：0.1 -
3．如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM于点K．下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（ ）发布：2025/5/25 13:30:1组卷：470引用：4难度：0.1
