数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段AB和直线l,在直线l上找点P，使得∠APB=30°，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．
Ⅰ如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA、OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于点P1和P2．
则图中P1、P2即为所求的点．
请在图②中，连接P1A、P1B、P2A、P2B，
说明∠AP1B=∠AP2B=30°．
Ⅱ【方法迁移】
如图③，在矩形ABCD的边上找点P，使得∠BPC=45°，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形ABCD的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
Ⅲ【深入探究】
（1）已知矩形ABCD，BC=4，AB=m,P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为 4≤m＜22+24≤m＜22+2．
（2）已知矩形ABCD，AB=62，BC=22，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，则AP的最小值为 88．
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【考点】圆的综合题．
【答案】4≤m＜2；8
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【解答】
【点评】
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发布：2025/6/11 22:30:1组卷：235引用：2难度：0.4
相似题
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1．在⊙O中，已知AB为直径，C、D是⊙O上两点，且C、D在AB的两侧，OD⊥AB，CD交AB于E点，过E作EF∥BC交AC于F点．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若AF：CF=1：2，且CE=2，求△ACE的面积．发布：2025/6/16 4:0:2组卷：73引用：2难度：0.5 -
2．请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．ˆABC
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是的中点，ˆABC
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为上一点，∠ABD=15°，CE⊥BD于点E，CE=2，连接AD，则△DAB的周长是 ．ˆAC发布：2025/6/15 17:30:2组卷：757引用：4难度：0.1 -
3．如图，直角坐标系中，直线y=kx+b分别交x,y轴于点A（-8，0），B（0，6），C（m,0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=，求点D的坐标．53
（3）当△ODC为等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值．
（4）点P，Q关于OD成轴对称，当点Q恰好落在直线AB上时，直接写出此时BQ的长．
发布：2025/6/16 6:0:1组卷：324引用：5难度：0.1
