已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为22．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求BM• BN的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
BM
•
BN
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），
由
得（1+2k2）x2-12k2x+18k2-6=0．
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以Δ=144k4-4（1+2k2）（18k2-6）=24（1-k2）＞0，解得-1＜k＜1．
设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，
y1=k（（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得kAM+kAN=
==
==．
所以kAM+kAN为定值-2．
x
2
6
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），
由
y = k （ x - 3 ） |
x 2 6 + y 2 3 = 1 |
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以Δ=144k4-4（1+2k2）（18k2-6）=24（1-k2）＞0，解得-1＜k＜1．
设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则
x
1
+
x
2
=
12
k
2
1
+
2
k
2
x
1
x
2
=
18
k
2
-
6
1
+
2
k
2
y1=k（（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得kAM+kAN=
y
1
-
1
x
1
-
2
+
y
2
-
1
x
2
-
2
=
（
k
x
1
-
3
k
-
1
）
（
x
2
-
2
）
+
（
k
x
2
-
3
k
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
2
k
x
1
x
2
-
（
5
k
+
1
）
（
x
1
+
x
2
）
+
12
k
+
4
x
1
x
2
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
=
2
k
（
18
k
2
-
6
）
-
（
5
k
+
1
）
•
12
k
2
+
（
12
k
+
4
）
（
1
+
2
k
2
）
18
k
2
-
6
-
24
k
2
+
4
（
1
+
2
k
2
）
-
4
k
2
+
4
2
k
2
-
2
=
-
2
所以kAM+kAN为定值-2．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：143引用：12难度：0.1
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