点O是直线MN上的定点，等边△ABC的边长为3，顶点A在直线MN上，△ABC从O点出发沿着射线OM方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D，且在平移过程中始终有∠BDO=30°，连接OB、OC、OB交AC于点P，如图1所示．
（1）以O为圆心，OD为半径作圆，交射线OM于点E，
①当点B在⊙O上时，如图2所示，求ˆBE的长；
②⊙O的半径为r,当△ABC平移距离为2r时，判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）在平移过程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，请求出此时点O到直线BC的距离；若不存在，请说明理由．
3
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BE
【考点】圆的综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：522引用：2难度：0.4
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1．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，-5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（-2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是 ；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点A是以C（t,0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙C与x轴交于点B（点B在点C的右边）．现有点M（1，0），N（0，2），对于线段MN上每一点P，都存在点C，使∠APB是AB关于⊙C的最佳内直角，请直接写出t的取值范围．发布：2025/5/23 8:30:2组卷：220引用：1难度：0.1 -
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；
（3）若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．发布：2025/5/23 8:30:2组卷：232引用：1难度：0.3 -
3．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图1，若四边形ABCD是美好四边形，且AD=BD，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A，B，C，D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m,是否存在这样的点D，满足AC=BD，使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 8:30:2组卷：148引用：2难度：0.5
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