如图1，△AOB是边长为5的等边三角形，弧长为π的扇形POQ按图1摆放，使扇形的半径OP，OQ分别落在OA，OB上．
（1）求OP的长；
（2）若△AOB不动，让扇形POQ绕点O逆时针旋转，得到扇形P′OQ′，如图2，连接线段AP′，BQ′，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．
①求证：AP′=BQ′，并求当AP′与弧P′Q′相切时cosα的值；
②如图3，若α=60°，连接PP′，P′Q′，直接判断四边形OPP′Q′的形状．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）OP=3；
（2）①cosα=；
②菱形．
（2）①cosα=
3
5
②菱形．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 22:30:1组卷：57引用：1难度：0.2
相似题
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1．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
（1）如图1，在“对角互余四边形”ABCD中，AD=CD，BD=6.5，∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知AD=a,DC=b,AB=3AC，连接BD，求BD2的值．（结果用带有a,b的代数式表示）
发布：2025/5/25 2:0:6组卷：305引用：2难度：0.3 -
2．【根底巩固】
（1）如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B．求证：AC2=AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，且∠EAF=∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．若AF=4，CF=2，AM=10．12
求：①CM的长；
②FN的长．
【拓展进步】
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出PD+PC的最小值．12
发布：2025/5/25 2:30:1组卷：870引用：2难度：0.1 -
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2=CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE=3，试求阴影部分的面积．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：3655引用：17难度：0.4
