在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C1，连接AA1，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）如图1，当A1B1经过点B时，
①旋转角α=6060°；
②求证：A1B1⊥AA1．
（2）当A1B1不经过点B时，连接B1B并延长B1B交直线AA1于点D，设AB的中点为E，BC的中点为F．
①如图2，连接DE，在△ABC的旋转过程中，线段DE的长度有变化吗？如果有变化，请说明理由；如果不变，求DE的值；
②如图3，连接DF，直接写出DF的最大值．
【考点】三角形综合题．
【答案】60
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：265引用：2难度：0.1
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1．在综合实践课上，辅导老师要求同学操作探究学具中蕴含的数学知识（△ABC的三个角为45°、45°、90°；△DEF的三个角为30°，60°，90°，EF=4
cm）．3
（1）如图1，将一副三角尺按图摆放，等腰直角三角尺的直角边BC恰好垂直平分EF，且BC与DE相交于点P，求DP的长；
（2）如图2，在（1）的基础上，将△ACB绕点C顺时针旋转，使直角边BC经过点D，另一直角边AC与DE相交于点Q，求DQ的长；
（3）在（2）的条件下，将△ABC在边EF上平移，如图3，当点C是EF的三等分点时，直角边AC与DE相交于点G，请直接写出DG的长．
发布：2025/5/22 20:30:1组卷：138引用：1难度：0.2 -
2．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点
，∠OAB=90°，以点A为中心顺时针旋转△AOB，得到△ACD，点O，B的对应点分别是C，D，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．B（2，23）
（Ⅰ）如图①，当点C落在OB边上时，求点C的坐标；
（Ⅱ）如图②，连接OC，BD，点E，F分别是线段OC，BD的中点，连接AE，AF，EF，若线段OC的长为t,试用含t的式子表示线段AE的长度，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若△AEF的面积是S，当60°≤α≤120°时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
发布：2025/5/22 19:0:1组卷：644引用：1难度：0.2 -
3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD平分∠ABC，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿射线BD以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，点Q、点P同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ与△ABC重叠部分面积为S．2
（1）AD=，BD=．
（2）用含t的代数式表示点Q到AB的距离．
（3）当PQ与△ABC的一边平行时，求S的值．
（4）当点Q不与点B重合时，作点Q关于直线AB的对称点Q'，当直线PQ′经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．发布：2025/5/22 19:0:1组卷：228引用：2难度：0.1
