设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=12且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l,使得OM•ON=-2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：|AB|2|MN|为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
1
2
OM
•
ON
|
AB
|
2
|
MN
|
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）存在直线l，使得=-2，证明如下：
由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），∴ ，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
，，
=
所以，
故直线l的方程为或；
（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
=．
由
消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴为定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在直线l，使得
OM
•
ON
由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，
3
2
3
2
OM
•
ON
=
（
1
，
3
2
）
•
（
1
，
-
3
2
）
=
1
-
9
4
=
-
5
4
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 1 ） |
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
•
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
OM
•
ON
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
k
2
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
k
2
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
3
+
4
k
2
+
1
）
=
-
5
k
2
-
12
3
+
4
k
2
=
-
2
所以
k
=±
2
故直线l的方程为
y
=
2
（
x
-
1
）
y
=
-
2
（
x
-
1
）
（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
（
1
+
k
2
）
[
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
]
=
（
1
+
k
2
）
[
（
8
k
2
3
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
）
]
=
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx |
x
2
=
12
3
+
4
k
2
|AB|=
1
+
k
2
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
∴
|
AB
|
2
|
MN
|
=
48
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
=
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：172引用：9难度：0.5
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