已知椭圆Γ：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的左、右焦点分别为F₁，F₂，长轴长为4，A，B是Γ上关于原点对称的两个动点，当AF₂垂直于x轴时，△ABF₂的周长为

4

+

13

．
（1）求Γ的方程；
（2）已知Γ的离心率

e

＜

2

2

，直线AF₂与Γ交于点M（异于点A），直线BF₂与Γ交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．

【答案】（1）=1，或+y²=1；
（2）证明：由（1）得椭圆Γ的方程为=1，
①当A、B是椭圆Γ的左右顶点时，则直线MN与x轴重合；
②当A、B是椭圆Γ的上下顶点时，则A（0，），B（0，-），F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直线AF₂的方程为y=-x+，联立直线AF₂与椭圆Γ的方程得，整理得5x²-8x=0，解得x=0或x=，
∴当x=时，y=-，即M（，-），
同理可得直线BF₂的方程为y=x-，联立直线BF₂与椭圆Γ的方程得5x²-8x=0，解得x=0或x=，
∴当x=时，y=，即M（，），此时直线MN的方程为x=；
③当A、B不是椭圆Γ的顶点时，设直线MN的方程为x=my+n（m≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线MN与椭圆Γ的方程得，整理得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0
∴Δ=（6mn）²-4（3m²+4）（3n²-12）=144m²-48n²+192＞0，且y₁+y₂=-，y₁•y₂=，
设直线AF₂的方程为x=k₁y+1，且k₁=，A（x_A，y_A），M（x₁，y₁），
联立直线AF₂与椭圆Γ的方程得，整理得（3+4）y²+6k₁y-9=0，此时Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴y₁y_A=，则y_A=-①，
同理设直线BF₂的方程为x=k₂y+1，且k₂=，B（-x_A，-y_A），
联立直线BF₂与椭圆Γ的方程得，整理得（3+4）y²+6k₂y-9=0，此时Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴-y_A•y₂=，则y_A=②，
由①②得-=，即（3+4）y₁+（3+4）y₂=0，
∴3•y₁+3•y₂+4（y₁+y₂）=0，
又3•y₁+3•y₂=3[（）²•y₁+（）²•y₂]=3[+]=3[m²（y₁+y₂）+4m（n-1）+（n-1）²•]，
∴3m²（y₁+y₂）+12m（n-1）+3（n-1）²•+4（y₁+y₂）=0③，
将y₁+y₂=-，y₁•y₂=代入③得（3m²+4）•（-）+12m（n-1）+3（n-1）²•=0，即m（5n-8）=0，
∵m≠0，∴n=，即直线MN的方程为x=my+，则恒过定点（，0），
对于①：此时直线MN经过定点（，0），符合题意，对于②：直线MN经过定点（，0），
综上所述，直线MN过定点（，0）．