如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点M，使得△ADM的面积与△ABC的面积相等，求M点的坐标；
（3）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）该抛物线的解析式为y=x2+4x+3，顶点D（-2，-1）；
（2）M（-2，5）或（-2，-7）；
（3）点P的坐标为（-，-）或（-4，-3）时，以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）M（-2，5）或（-2，-7）；
（3）点P的坐标为（-
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：178引用：1难度：0.2
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1．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC=OB=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N的坐标，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/17 11:30:1组卷：129引用：1难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=（x+2）（x-8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）14发布：2025/6/17 18:30:1组卷：2558引用：19难度：0.7 -
3．已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m,0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/17 18:0:1组卷：2088引用：13难度：0.2
