如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
y
=
1
2
x
+
2
y
=
-
1
2
x
2
+
bx
+
c
DE
EB
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=-x2-x+2；
（2）①的最大值为；
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，D（-2，3）．
1
2
3
2
（2）①
DE
EB
4
5
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，D（-2，3）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：573引用：2难度：0.1
相似题
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1．已知抛物线y=ax2+bx-4交x轴于A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，P是第四象限内抛物线上的一点，PA交y轴于点D，连接BD，若∠ADB=90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，Q是点C关于抛物线的对称轴的对称点，连接BP，CP，CQ（如图2），在x轴上是否存在点R，使△PBR与△PQC相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/26 5:30:2组卷：372引用：2难度：0.4 -
2．如图（1），抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（-6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图（2），点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD=∠CAP，求点P的坐标．
（3）直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．
发布：2025/5/26 5:30:2组卷：286引用：3难度：0.2 -
3．如图，开口向下的抛物线y=-
（x-m）（x-2）与x轴正负半轴分别交于A、B点，与y轴交于C点，且AB=2OC；38
（1）直接写出A点坐标（ ，0），并求m的值；
（2）抛物线在第三象限内图象上是否存在一点E，在y轴负半轴上有一点F，使以点C、点E、点F为顶点的三角形与△BOC相似，如果存在，求出F点坐标，如果不存在，说明理由；
（3）在线段BC上有一点P，连结PO、PA，若tan∠APO=，则直接写出点P坐标（ ，）12
发布：2025/5/26 6:30:2组卷：746引用：1难度：0.1
