问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：
n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
①请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
②根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成[1+n（n+1）2][1+n（n+1）2]个部分．
问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；
空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；
空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；
空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；
空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
③请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
④根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成176176个部分；
⑤设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n-1个平面最多可以把空间分割成Sn-1个部分，前面的递推规律可以用Sn-1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn=Sn-1+[1+n（n-1）2]Sn-1+[1+n（n-1）2]．
n
（
n
+
1
）
2
n
（
n
+
1
）
2
n
（
n
-
1
）
2
n
（
n
-
1
）
2
【考点】四边形综合题．
【答案】[1+]；176；Sn-1+[1+]
n
（
n
+
1
）
2
n
（
n
-
1
）
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：166引用：2难度：0.1
相似题
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1．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m,Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 5:0:4组卷：214引用：2难度：0.1 -
2．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求的值．DEBC
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=8，求BF的长．发布：2025/5/25 5:0:4组卷：1609引用：1难度：0.1 -
3．【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．
我们学习过的四边形中是垂美四边形的是 ；（写出一种即可）
【性质探究】
利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是 ；
【性质应用】
（1）如图②，在△ABC中，BC=6，AC=8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为 ；
（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC=∠AED=90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE=6，AE=8，AB=12，求CD的长；
【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD=6，AB=8，求BG的长．发布：2025/5/25 5:0:4组卷：292引用：1难度：0.1
